二次函数中的存在性问题(平行四边形).doc

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二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）

1.【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A（-1,0），与y轴的正半轴交于点C．

⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；

⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；

⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？

若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由．

解：

⑴对称轴是直线：

，点B的坐标是（3,0）．……2分

说明：

每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．

⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（-1,0）、B（3,0），

∴AB＝4．∴

在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，

∴

∴b＝………………………………3分

当时，

∴　………………………………4分

∴………………5分

⑶存在．……………………………6分

理由：

如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．

①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．

由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．

∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分

说明：

少求一个点的坐标扣1分．

②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．

过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．

∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．

∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．

∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．

∴点M的坐标为．……………………………12分

说明：

求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，

然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．

综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．

说明：

①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

2.【09浙江湖州】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.

（1）填空：

试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；

（2）如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；

（3）在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.

第

（2）题

x

y

B

C

O

D

A

M

N

N′

x

y

B

C

O

A

M

N

P1

P2

备用图

（1）.……………4分

（2）由题意得点与点′关于轴对称，，

将′的坐标代入得，

（不合题意，舍去），.……………2分

，点到轴的距离为3.

，，直线的解析式为，

它与轴的交点为点到轴的距离为.

.……………2分

（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，

把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，

得：

（不舍题意，舍去），，.……………2分

当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，

．

与关于原点对称，，

将点坐标代入抛物线解析式得：

，

（不合题意，舍去），，．……………2分

存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．

二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形

①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）

1．【09福建莆田】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。

点B的坐标为（1，0）,OC=30B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上。

是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵对称轴………1分

又∵OC=3OB=3，，

∴C（0，－3）………2分

方法一：

把B（1,0）、C（0，－3）代入得：

解得：

∴…………………4分

方法二：

∵B（1，0），∴A（-4，0）

可令把C（0，-3）代入得：

∴………………4分

（2）方法一：

过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。

∵

＝……………5分

∵A（-4，0），C（0，-3）

设直线AC的解析式为

代入求得：

……………6分

令，

…………7分

当时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值。

…………8分

方法二：

过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作∥x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。

则=

=…………5分

令

则…………7分

当时，四边形ABCD面积有最大值。

…………8分

（3）如图所示，讨论：

①过点C作∥x轴交抛物线于点，过点作∥AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，…………9分

∵C（0，-3）

令得：

∴。

∴

2.【09福建南平】已知抛物线：

（1）求抛物线的顶点坐标.

（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.

（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.

【提示：

抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是】

解：

（1）依题意　……………1分

∴，　……3分

∴顶点坐标是（2，2）………………………4分

（2）根据题意可知

y2解析式中的二次项系数为…………………5分

且y2的顶点坐标是（4，3）……………………6分

∴y2＝－，即：

y2＝……8分

（3）符合条件的N点存在……………………………………9分

如图：

若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，

则∥，且

∴，

作轴于点A，轴于点B

∴，

则有（AAS）　　∴

∵点P的坐标为（4,3）∴……10分

∵点N在抛物线、上，且P点为

、的最高点　　∴符合条件的N点只能在轴下方

①点N在抛物线上，则有：

解得：

或…………………………………………………11分

②点N在抛物线上，则有：

解得：

或…………………13分

∴符合条件的N点有四个：

……………………………………………14分

②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线

1．【07浙江义乌】如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，

求线段PE长度的最大值；

（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样

的四个点为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出所有满足条件的F

点坐标；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）令y=0，解得或（1分）

∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）

将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）（1分）

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：

x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：

P（x，-x-1），（1分）

E（（1分）

∵P点在E点的上方，PE=（2分）

∴当时，PE的最大值=（1分）

（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时：

当AF为平行四边形的对角线时：

2．【09辽宁抚顺】已知：

如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．

（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；

B

A

O

C

y

x

（3）在

（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？

如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：

（1）根据题意，得

1分

解得 3分

抛物线的解析式为 4分

顶点坐标是（2，4） 5分

（2）……………………………………6分

B

A

O

C

y

x

Q4

Q3

Q1

Q2

P3

P1

P2

D

C

P4

设直线的解析式为

直线经过点点

……………………………………7分

……………………………………8分

9分

（3）存在． 10分

11分

12分

13分

14分