中考数学必做压轴题分类之二次函数与几何综合.doc

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二次函数与几何综合

二次函数与几何综合是中考压轴题的考查重点，常考查函数解析式、交点坐标、图形面积或周长的最值、存在性问题、图形的平移、对称、旋转等．压轴题的综合性强，难度大，复习时应加强训练，它是突破高分瓶颈的关键．　　　　　　　　　　　　

1、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A（1，0），

C（0，3）两点，与x轴交于点B.

（1）若直线y＝mx＋n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，

求出点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

2、如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点

C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在

（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？

若存在，求

出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？

若存在，求出点Q

的坐标；若不存在，请说明理由．

3、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点C的坐标为（0，－2），交x轴于A、B两点，

其中A（－1，0），直线l：

x＝m（m＞1）与x轴交于D.

（1）求二次函数的解析式和B的坐标；

（2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点

的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在

（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶

点的等腰直角三角形？

如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

4、已知抛物线y＝－x2－2x＋a（a≠0）与y轴相交于A点，顶点为M，直线y＝x－a分别与

x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线MA相交于点N点．

（1）若直线BC和抛物线有两个不同交点，求a的取值范围，并用a表示交点M、A的坐标；

（2）将△NAC沿着y轴翻折，若点N的对称点P恰好落在抛物线上，AP与抛物线的对称轴相

交于点D，连接CD，求a的值及△PCD的面积；

（3）在抛物线y＝－x2－2x＋a（a＞0）上是否存在点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是

平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，－2），A为OB的中点，以A

为顶点的抛物线y＝ax2＋c（a≠0）与x轴分别交于C、D两点，且CD＝4，点P为抛物线

上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE＝2，求点P的坐标；

（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．

6、如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（－2，），顶点坐标为N（－1，），

且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？

若存在，求出Q点坐标；若不存在，

请说明理由．

7、如图，二次函数y＝x2＋bx－3b＋3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），

交y轴于点C，且经过点（b－2，2b2－5b－1）．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）⊙M过A，B，C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；

（3）连接AM，DM，将∠AMD绕点M顺时针旋转，两边MA，MD与x轴，y轴分别交于点E，F.

若△DMF为等腰三角形，求点E的坐标．

8、如图1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，

若tan∠ABC＝3，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－8，2.

（1）求二次函数的解析式；

（2）直线l以AB为起始位置，绕点A顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P

是AD的中点．

①求点P的运动路程；

②如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连接PE、PF，在l运

动过程中，∠EPF的大小是否改变？

请说明理由；

（3）在

（2）的条件下，连接EF，求△PEF周长的最小值．

9、已知抛物线C1：

y＝－x2，平移抛物线y＝x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴

右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于C（0，2）．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右方）．求点A、B的坐标及过点A、B、C

的圆的圆心E的坐标；

（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形，若存在，求

出点F的坐标，若不存在，请说明理由．

10、如图，已知直线y＝－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c

经过点A和点C，对称轴为直线l：

x＝－1，该抛物线与x轴的另一个交点为B.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；

（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

11、如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y

轴正半轴交于点C，且OC＝OB.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积最大值，并求出

此时点E的坐标；

（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针方向旋转90°后，点A的对应点A′

恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

12、如图，已知抛物线y＝（x＋2）（x－4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，

B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D.

（1）若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；

（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k

的值；

（3）在

（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿

线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D

后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

13、已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左

侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：

x＝1.

（1）求抛物线解析式；

（2）直线y＝kx＋2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1

时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标；

（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小

时点O，B移动后的坐标及L的最小值．

14、如图，抛物线y＝ax2－8ax＋12a（a＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴

交于点C，点D的坐标为（－6，0），且∠ACD＝90°.

（1）请直接写出A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？

若存在，求出点P的坐标及周

长的最小值；若不存在，说明理由；

（4）平行于y轴的直线m从点D出发沿x轴向右平行移动，到点A停止．设直线m与折线DCA

的交点为G，与x轴的交点为H（t，0）．记△ACD在直线m左侧部分的面积为S，求S关

于t的函数关系式及自变量t的取值范围．

15、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点

（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线

的另一个交点为D，且CD＝4AC.

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能

否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案

1、【思路点拨】　

（1）利用待定系数法求二次函数与一次函数的解析式；

（2）利用抛物线的轴对称性，BC与对称轴的交点即为M，继而求出其坐标；

（3）设P（－1，t），用含t的代数式表示PB、PC.对直角顶点分三种情况讨论，利用勾股定理建立方程可求得t的值．

【解答】　

（1）依题意，得

解得

∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.

∵对称轴为x＝－1，且抛物线经过A（1，0），

∴B（－3，0）．

∴把B（－3，0）、C（0，3）分别代入直线y＝mx＋n，得

解得

∴直线y＝mx＋n的解析式为y＝x＋3.

（2）设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小，把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.

∴M（－1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为（－1，2）．

（3）设P（－1，t），又B（－3，0），C（0，3），

∴BC2＝18，PB2＝（－1＋3）2＋t2＝4＋t2，PC2＝（－1）2＋（t－3）2＝t2－6t＋10.

①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；

②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；

③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18；

解得t1＝，t2＝.

综上所述，P的坐标为（－1，－2）或（－1，4）或（－1，）或（－1，）．

2、【思路点拨】　

（1）把A（－1，0）、B（3，0）两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c即可求出b和c的值，进而求出抛物线的解析式；

（2）设D（t，－t2＋