版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案.docx

版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案.docx

《版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲 简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版高考数学文大一轮优选全国通用版讲义第3讲简单的逻辑联结词全称量词与存在量含答案

第3讲　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．

2．理解全称量词与存在量词的意义．

3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

2017·山东卷，5

2015·湖北卷，3

2014·安徽卷，2

2014·辽宁卷，5

1.含有逻辑联结词的命题的真假判断，常结合函数、不等式、三角形问题等知识考查．

2．全称命题或特称命题的否定．

3．常以不等式、函数为载体判断命题真假，或已知命题真假求参数的取值范围.

分值：

5分

1．简单的逻辑联结词

（1）逻辑联结词有“或”“且”“非”．

（2）命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

¬p

真

真

__真__

__真__

__假__

真

假

__假__

__真__

__假__

假

真

__假__

__真__

__真__

假

假

__假__

__假__

__真__

简记为：

p∧q中一假则假，全真才真；p∨q中一真则真，全假才假；p与¬p真假性相反．

2．全称量词和存在量词

量词名称

常见量词

符号表示

全称量词

所有、一切、任意、全部、每一个等

__∀__

存在量词

存在一个、至少一个、有些、某些等

__∃__

3．全称命题和特称命题

名称

形式　

全称命题

特称命题

结构

对M中的任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

__∀x∈M，p（x）__

__∃x0∈M，p（x0）__

否定

__∃x0∈M__，¬p（x0）

__∀x∈M__，¬p（x）

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）命题“5>6或5>2”是假命题．（　×　）

（2）若命题p∧q为真，则p为真或q为真．（　×　）

（3）“长方形的对角线相等”是特称命题．（　×　）

（4）命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”．（　×　）

解析　

（1）错误．命题p∨q中有一真则p∨q为真．

（2）错误．p∧q为真，则p，q同时为真．

（3）错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“任意长方形的对角线相等”，是全称命题．

（4）错误．“菱形的对角线相等”是全称命题，其否定为“有的菱形的对角线不相等”．

2．下列命题中的假命题是（　C　）

A．∃x∈R，lgx＝0　　　B．∃x∈R，tanx＝1

C．∀x∈R，x3>0　　　D．∀x∈R,2x>0

解析　当x＝1时，lgx＝0；当x＝时，tanx＝1，所以A，B项中的命题均为真命题．显然D项中的命题为真命题．当x＝0时，x3＝0，所以C项中的命题为假命题．故选C．

3．已知命题p：

若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为0；命题q：

若a>b，则<.给出下列四个命题：

①p且q；②p或q；③¬p；④¬q.

其中真命题的个数是（　B　）

A．1　　　B．2　　　

C．3　　　D．4

解析　∵命题p为真命题，q为假命题，∴p或q，¬q为真命题．故选B．

4．已知命题p：

∃n∈N,2n>1000，则¬p为（　A　）

A．∀n∈N,2n≤1000

B．∀n∈N,2n>1000

C．∃n∈N,2n≤1000

D．∃n∈N,2n<1000

解析　由于特称命题的否定是全称命题，因而¬p：

∀n∈N,2n≤1000.故选A．

5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（　A　）

A．（¬p）∨（¬q）　　　B．p∨（¬q）

C．（¬p）∧（¬q）　　　D．p∨q

解析　因为p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则¬p是“甲没有降落在指定范围”，¬q是“乙没有降落在指定范围”，所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（¬p）∨（¬q）．故选A．

一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

（1）判断含有逻辑联结词的命题真假的步骤：

①先判断简单命题p，q的真假；

②再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．

（2）含逻辑联结词命题真假的等价关系：

①p∨q真⇔p，q至少有一个真⇔（¬p）∧（¬q）假；

②p∨q假⇔p，q均假⇔（¬p）∧（¬q）真；

③p∧q真⇔p，q均真⇔（¬p）∨（¬q）假；

④p∧q假⇔p，q至少有一个假⇔（¬p）∨（¬q）真；

⑤¬p真⇔p假；¬p假⇔p真．

【例1】

（1）（2017·山东卷）已知命题p：

∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：

若a2

A．p∧q　　　B．p∧（¬q）

C．（¬p）∧q　　　D．（¬p）∧（¬q）

（2）已知命题p1：

函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：

函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：

p1∨p2，q2：

p1∧p2，q3：

（¬p1）∨p2，q4：

p1∧（¬p2）中，真命题是（　C　）

A．q1，q3　　　B．q2，q3

C．q1，q4　　　D．q2，q4

解析　

（1）∵方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4＝－3<0，又对于二次函数y＝x2－x＋1，其图象开口向上，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3,22<（－3）2，而2>－3，∴q为假命题，¬q为真命题．因此p∧（¬q）为真命题．故选B．

（2）∵y＝2x在R上为增函数，

y＝－2－x＝－x在R上为增函数，

∴y＝2x－2－x在R上为增函数，故p1是真命题．

y＝2x＋2－x在R上为减函数是错误的，故p2是假命题．

∴q1：

p1∨p2是真命题，因此排除B项和D项，q2：

p1∧p2是假命题，q3：

（¬p1）∨p2是假命题，排除A项．故选C．

二　全称命题与特称命题

（1）全称命题与特称命题真假的判断方法：

命题名称

真假

判断方法一

判断方法二

全称命题

真

所有对象使命题真

否定为假

假

存在一个对象使命题假

否定为真

特称命题

真

存在一个对象使命题真

否定为假

假

所有对象使命题假

否定为真

（2）全称命题与特称命题的否定要注意以下两点：

①否定量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定；

②否定结论：

对原命题的结论进行否定．

【例2】

（1）设命题p：

∃n∈N，n2>2n，则¬p为（　C　）

A．∀n∈N，n2>2n　　　B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n　　　D．∃n∈N，n2＝2n

（2）命题“对任意x∈R，都有x2≥ln2”的否定为（　D　）

A．对任意x∈R，都有x2

B．不存在x∈R，使得x2

C．存在x0∈R，使得x≤ln2

D．存在x0∈R，使得x

解析　

（1）命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”．

（2）按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，命题的否定为“存在x0∈R，使得x

【例3】

（1）下列命题中的假命题是（　B　）

A．∀x∈R,2x－1>0

B．∀x∈N*，（x－1）2>0

C．∃x0∈R，lnx0<1

D．∃x0∈R，tanx0＝2

（2）已知命题p：

∀x>0，x＋≥4；命题q：

∃x0∈（0，＋∞），2x0＝，则下列判断正确的是（　C　）

A．p是假命题　　　B．q是真命题

C．p∧（¬q）是真命题　　　D．（¬p）∧q是真命题

解析　

（1）因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A项中的命题是真命题；当x＝1时，（x－1）2＝0，所以B项中的命题是假命题；存在0

（2）当x>0时，x＋≥2＝4，p是真命题；当x>0时，2x>1，q是假命题，所以p∧（¬q）是真命题，（¬p）∧q是假命题．

三　根据命题的真假求参数的取值范围

根据命题的真假求参数取值范围的求解策略

（1）含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的（一个或两个）简单命题的真假，求出此时命题成立的参数的取值范围，再求出含逻辑联结词的命题成立的参数的取值范围．

（2）全称命题可转化为恒成立问题．

【例4】已知命题p：

函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点，命题q：

函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求a的取值范围．

解析　若命题p为真命题，则函数y＝x2－2x＋a在区间（1,2）上有1个零点．

因为二次函数图象开口向上，对称轴为x＝1，

所以所以0

若命题q为真命题，则函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，则Δ＝（2a－3）2－4>0，得4a2－12a＋5>0，解得a<或a>.

因为p∧q是假命题，p∨q是真命题，所以p，q一真一假．

①若p真q假，则所以≤a<1；

②若p假q真，则所以a≤0或a>.

故实数a的取值范围是（－∞，0]∪∪.

1．已知命题p：

复数z＝在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：

∃x0>0,2－x0＝ex0，则下列命题中为真命题的是（　A　）

A．p∧q　　　B．（¬p）∧q

C．p∧（¬q）　　　D．（¬p）∧（¬q）

解析　化简z＝＝＝1－i，故命题p是真命题；在同一坐标系中同时画出函数f（x）＝2－x和函数g（x）＝ex的图象（图略），观察发现图象的交点在第一象限，故命题q是真命题．再根据复合命题的真值表，知A项是正确的．

2．命题p：

对任意的x∈R，f（x）＝2cos2x＋sin2x≤3，则（　D　）

A．p是假命题；¬p：

存在x0∈R，使得f（x0）＝2cos2x0＋sin2x0≤3

B．p是假命题；¬p：

存在x0∈R，使得f（x0）＝2cos2x0＋sin2x0>3

C．p是真命题；¬p：

存在x0∈R，使得f（x0）＝2cos2x0＋sin2x0≤3

D．p是真命题；¬p：

存在x0∈R，使得f（x0）＝2cos2x0＋sin2x0>3

解析　根据全称命题的否定是特称命题，可知全称命题p的否定是存在x0∈R，使得f（x0）＝2cos2x0＋sin2x0>3.另外，f（x）＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1≤3.故选D．

3．若命题“∃x0∈R，x－2x0＋m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是__（1，＋∞）__.

解析　由题意，知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”是真命题，故Δ＝（－2）2－4m<0，即m>1.

4．已知命题p：

关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]时有解；命题q：

f（x）＝log2在x∈[1，＋∞）时单调递增．若綈p为真命题，p∨q是真命题，则实数m的取值范围为____.

解析　根据题意，关于x的方程x2－mx－2＝0在x∈[0,1]时有解，可得1－m－2≥0，从而求得m≤－1；f（x）＝log2在x∈[1，＋∞）时单调递增，可得解得m<.根据綈p为真命题，p∨q是真命题，可知p假q真，所以实数m的取值范围为.

错因分析：

否命题既要否定条件，又要否定结论，而命题的否定只否定结论．

【例1】写出命题“若a2＋b2＝0，则实数a，b全为零”的否定及否命题．

解析　命题的否定：

若a2＋b2＝0，则实数a，b不全为零