类型一 求二次函数的解析式
已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1,f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
解法一：
（利用一般式）
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由题意得
解之得
所以所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
解法二：
（利用顶点式）
设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），因为f
（2）＝f（－1），
所以抛物线对称轴为x＝＝，
所以m＝，又根据题意，函数有最大值为8，所以n＝8，
所以f（x）＝a＋8.
因为f
（2）＝－1，即a＋8＝－1.解之得a＝－4.
所以f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
解法三：
（利用零点式）
由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，即g（x）＝f（x）＋1的两个零点为2，－1，
故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值ymax＝8，即＝8，
解之得a＝－4，
所以所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x－2×（－4）－1
＝－4x2＋4x＋7.
【点拨】由条件f
（2）＝f（－1）及f（x）的最大值是8，根据对称性知其对称轴为x＝，故此题利用顶点式较为简捷．如果把2，－1看作函数g（x）＝f（x）＋1的两个零点，利用零点式求g（x）的解析式，再求f（x）的解析式也很方便．与对称轴有关的二次函数一般设为顶点式．如果与零点有关，则要注意函数的对称性及韦达定理的应用．
（1）已知二次函数f（x）有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f（x）＝________.
解：
由于f（x）有两个零点0和－2，
所以可设f（x）＝ax（x＋2）（a≠0），
这时f（x）＝ax（x＋2）＝a（x＋1）2－a，
由于f（x）有最小值－1，
所以必有解得a＝1.
因此f（x）的解析式是f（x）＝x（x＋2）＝x2＋2x.
故填x2＋2x.
（2）二次函数的图象过点（0，1），对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是y＝________.
解：
设y＝a（x－2）2－1（a＞0），
当x＝0时，4a－1＝1，a＝，
所以y＝（x－2）2－1＝x2－2x＋1.
故填x2－2x＋1.
（3）若函数f（x）＝（x＋a）（bx＋2a）（常数a，b∈R）是偶函数，且它的值域为（－∞，4]，则该函数的解析式f（x）＝________.
解：
因为f（x）＝bx2＋（ab＋2a）x＋2a2是偶函数，所以ab＋2a＝0，则a＝0或b＝－2，当a＝0时，f（x）＝bx2，值域不可能为（－∞，4]，故a≠0，则b＝－2，此时f（x）＝－2x2＋2a2.当x＝0时，2a2＝4，所以f（x）＝－2x2＋4.
故填－2x2＋4.
类型二 二次函数的图象与性质
（1）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是（ ）
解：
若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a＜0，同理可排除D.对于选项B，由直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.
【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，a的正负决定抛物线开口的方向，c确定抛物线在y轴上的截距，b与a确定顶点的横坐标（或对称轴的位置）．
（2）已知函数f（x）＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－2，＋∞）B．（－2，－1）
C．（－∞，－2]D.
解：
由函数f（x）＝x2＋ax在（－∞，1]上单调递减，得－≥1，即a≤－2；由函数f（x）＝ax2＋x在（1，＋∞）上单调递减，得a<0且－≤1，即a≤－.而12＋a×1＝a×12＋1，综上可知，a≤－2.故选C.
【点拨】对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．
（3）若函数f（x）＝x2－2x＋1在区间[a，a＋2]上的最小值为4，则a的取值集合为（ ）
A．[－3，3]B．[－1，3]
C．{－3，3}D．{－1，－3，3}
解：
函数f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，其图象的对称轴方程为x＝1.
因为f（x）在区间[a，a＋2]上的最小值为4，
令x2－2x＋1＝4⇒x＝－1或3.
令a＋2＝－1或a＝3，得a＝－3或3，
故a的取值集合为{－3，3}．故选C.
【点拨】
（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．
（1）（2016·杭州模拟）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2＞4ac； ②2a－b＝1；
③a－b＋c＝0； ④5a＜b.
其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
解：
因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正确．故选B.
（2）函数f（x）＝x2＋2ax在[1，＋∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．（－∞，1]B．[1，＋∞）
C．（－∞，－1]D．[－1，＋∞）
解：
－a≤1⇒a≥－1.故选D.
（3）已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a（x∈[0，1]）有最大值2，则a＝________.
解：
函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a＝－（x－a）2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.
当a<0时，f（x）max＝f（0）＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1.
当0≤a≤1时，f（x）max＝f（a）＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝（舍去）．
当a>1时，f（x）max＝f
（1）＝a，所以a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.故填－1或2.
类型三 二次方程根的分布
已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围；
（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围．
解：
（1）条件说明抛物线f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，作出函数f（x）的大致图象，得
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