完整word版高等数学讲义一docxWord文档格式.docx
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定义域D{1,3,6}，值域Z{2,6,8}，一般地ZY。
X{1,3,6,7}
Y{2,6,8,9}f不是函数。
f
（1）2，f（3）8，f（6）8
定义域D{1,3,6}，值域Z{2,8}。
Y{2,6,8,9}
f不是函数。
由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表
示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x轴上的点。
例1求函数y1x的定义域。
解在实数范围内要使等式有意义，有
1x0
即
x1
所以函数的定义域为
（
1]。
例2求函数y
4x2
的定义域。
1x
解在实数范围内要使第一个等式有意义，有
在实数范围内要使第二个等式有意义，有
4x20或x24
x2或2x2
所以函数的定义域为[2,1）（1,2]。
三、函数表示法
函数表示法主要有以下三种
⒈解析法
用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。
例如
yx2
ysinx
1x,x0
f（x）
⒉图形法
在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。
表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法
在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。
如对数函数表、三角函数表等等。
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四、函数的几种属性
⒈单调性
请看下面两个图
左边的图形表示，函数值随自变量的增加而增加，就称函数单调增加，数学上描述为：
如果当任意的x1,x2（a,b）且x1x2时，恒有
f（x1）f（x2）
则称函数f（x）在区间（a,b）内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示，函数值随自变量的增加而减少，就称函数单调减少，数学上描述为：
则称函数f（x）在区间（a,b）内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性
左边的函数图形关于y轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：
如果函
数yf（x）的定义域D以原点为对称，且恒满足等式f（x）f（x），则称f（x）是
4
偶函数。
右边的函数图形关于原点对称，就称函数是奇函数，数学上描述为：
如果函
数yf（x）的定义域D以原点为对称，且恒满足等式f（x）f（x），则称f（x）是
奇函数。
例3判断下列函数的奇偶性：
⑴
f（x）x；
⑵f（x）
lg1
x
（1,1）
解
⑴由绝对值的性质，对任意
x有
f（
x）
f（x）
由此可知f（x）是偶函数。
⑵由对数函数的性质，对任意
1,1）
有
lg（1
x）1
由此可知f（x）是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：
偶函数加减偶函数是偶函数
奇函数加减奇函数是奇函数
偶函数乘偶函数是偶函数
奇函数乘奇函数是偶函数
奇函数乘偶函数是奇函数
例如，yxsinx是奇函数，yxcosx也是奇函数。
1.3初等函数
要了解初等函数，首先从以下开始
一、基本初等函数
我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是
⒈常数函数yccR
常数函数的图形如下
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⒉幂函数yxR
幂函数的图形如下
⒊指数函数
yaxa0,a1
指数函数的图形如下
⒋对数函数
ylogaxa0,a1
对数函数的图形如下
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⒌三角函数
正弦函数
y
sinx
余弦函数
cosx
正切函数
tanx
余切函数
cotx
正弦、余弦、和正切函数的图形分别是
⒍反三角函数
反正弦函数yarcsinx
反余弦函数yarccosx
反正切函数yarctanx
反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是
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二、函数的复合运算
在介绍函数的复合运算之前，先介绍函数的四则运算：
设f（x），g（x）是两个函数，定
义域分别为D1，D2，如果DD1D2不是空集，那么在D上可以得到以下函数
f（x）g（x）f（x）g（x）
f（x）g（x）f（x）/g（x）
这里要注意，最后一个函数f（x）/g（x）的定义域要在D中去掉使g（x）0的点。
除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数
ylgsinx
可以看作由函数ylgu和usinx构成的，这种构成方式就是一种新的运算。
一般地，
由两个函数yf（u）和ug（x）构成的对应规则yf（g（x））称为f和g这两个函数的
复合函数。
三、初等函数
由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数
sinx,x0
1x,x0
不是初等函数，这类函数称为分段函数。
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第2讲极限与连续
微积分的主要研究对象是函数，它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——
极限。
极限的严格描述奠定了微积分的理论基础，而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2函数的极限
一、极限的概念
首先让我们看看反正切函数yarctanx的图形
当自变量x向
变化时，函数值在向
π靠近。
而且x向
充分接近时，函数值可
以和π任意靠近。
我们将
x向
充分接近说成
x趋于
，记为x
。
一般地，当
自变量x趋于
时，如果函数f（x）的函数值和某个常数
A任意靠近，我们就称函数f（x）
当x趋于
时以A为极限（或称当x趋于
时，f（x）的极限是A）。
记为
lim
A或f（x）
A
（x
）
如我们在开始看到的情形就是
π
limarctanx
类似可以得到
（）
B，仍以反正切函数为例，有
limarctanx
再一次观察反正切函数
arctanx的图形，当自变量x向点x
0变化时，函数值
在向0靠近。
而且x向点x
0充分接近时，函数值可以和
任意靠近。
我们将x向点x0
x趋于0
0。
一般地，当自变量
x趋于x0
时，如果函数f（x）的函
数值和某个常数A任意靠近，我们就称函数
f（x）当x趋于x0时以A为极限（或称当x趋
于x0时，f（x）的极限是A）。
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limf（x）A或f（x）A（xx0）
xx0
这样我们就得到
limarctanx0
x0
极限limf（x）A的直观意义可以用下面的图形说明
函数在一点的极限可能存在，也可能不存在，如函数
0时的极限就不
ysin当x
存在，我们也可以从图形中看出
再看下面这个图形
可以看出，这个函数当x1时没有极限，但当x从大于1的方向趋于1时，函数值与
2.5任意接近。
一般地，当自变量x从大于x0的方向趋于x0时，如果函数f（x）的函数值和
某个常数A任意靠近，就称
A为f（x）在点x0的右极限，记为
类似可以给出f（x）在点x0
的左极限，记为
B。
如此一来我们就有了以下结论
limf（x）存在的充分必要条件是lim
f（x）和lim
f（x）都存在，且
10
limf（x）
二、极限的运算法则
为了方便地计算函数的极限，我们不加证明地给出极限的运算法则：
若limf（x），limg（x）存在，则有
lim[f（x）
g（x）]
limg（x）
lim[f（x）g（x）]
limg（x）
lim[cf（x）]climf（x）
c为常数
lim[
f（x）]
（假定limg（x）
0）
g（x）
例1
求lim
x2
3x
2。
x2
解观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，
limx2
3x2
lim（x2）（x1）
x2x2
x6
x2（x2）（x3）
lim（x
1）
lim（x
3）5
x2x
例2
2x
lim（12
32
lim（2
只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的，接下来我们大家介绍两个重要的极
限。
11
2.3两个重要极限
我们先给出两个重要的极限公式
lim（11）x
e
xx
之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。
在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理
夹逼定理
设在x0的某领域内（可不包含点
x0）有
g（x）f（x）
h（x）
且
gx
hx
，则
存在且
lim（）
lim（
x0
下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图
图中的圆周是单位圆周，圆心角AOB的弧度是x，则有
线段BD的长度为sinx
AB弧的长度为x
线段AE的长度为tanx
当0
时，有
0sinx
从而有
cosx
当x0
时，limcosx
1，由夹逼定理得
limsinx
12
由于sinx,x,tanx都是奇函数，因此当
0时，有
sin（x）
tan（
当
时，
limcosx
lim1
，由夹逼定理得
最后得到
x0x
例3求limsin3x。
x0x
本题不能直接应用第一个重要极限公式，
需要作适当变换。
注意到x趋于0时，3x
也趋于
0，有
limsin3x
lim3sin3x
3limsin（3x）
313
x0（3x）
例4
sin（x2
3）
x3
x2x
x趋于3时，
本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。
注意到
（x3）趋于0，有
sin（x
x3（x3）（x
（x
（x1）
limsin（x3）
（x3）
x3（x1）
2.4无穷小量与无穷大量
定义2.5极限为零的量称为无穷小量。
定理2.1limf（x）A的充分必要条件是
f（x）A（x）
其中（x）是无穷小量。
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利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质
⒈有限个无穷小量的代数和是无穷小量。
⒉有限个无穷小量的乘积是无穷小量。
⒊无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。
⒋任意常数与无穷小量的乘积是无穷小量。
例5求limxsin。
当x
0时极限不存在，但它是有界变量，而
x是无穷
前面我们已经知道，sin
小量。
由无穷小量的性质
3知xsin1
是无穷小量，即
limxsin1
如果f（x）,g（x）都是无穷小量，而g（x）仍然是无穷小量，这是称g（x）是关于f（x）的
高阶无穷小量，记为g（x）
o（f（x））。
如果
是无穷小量，那么称
f（x）为无穷大量。
1当x
0时就是无穷大量。
2.5函数的连续性
先看看下面的图形
以上几个函数的图形在点x1都存在不同形式的“断裂”，但归纳起来，这些情况属于
要么f（x）在x1的极限不存在，要么
f（x）在x1的极限不等于在该点的函数值。
定义2.6设函数f（x）在xx0的一个邻域内有定义，且等式
limf（x）f（x0）成立，
则称f（x）在点x0处连续，x0称为函数
f（x）的连续点。
若x0不是f（x）的连续点，则x0称
为函数f（x）的间断点。
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例6判断设函数
ex,
x,
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