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1、定义域 D 1, 3, 6 ，值域 Z 2, 6, 8 ，一般地 Z Y 。X 1, 3, 6, 7Y 2, 6 , 8 , 9 f 不是函数。f （1） 2 ， f （3） 8 ， f （6） 8定义域 D 1, 3, 6 ，值域 Z 2 , 8 。Y 2, 6 , 8 , 9f不是函数。由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有 x 轴上的点。例1 求函数 y 1 x 的定义域。解 在实数范围内要使等式有意义，有1 x 0即x 1所以函数的定义域为（, 1 。例 2 求函数 y4 x2的定

2、义域。1x解在实数范围内要使第一个等式有意义，有在实数范围内要使第二个等式有意义，有4 x2 0 或 x 2 4x 2 或 2 x 2所以函数的定义域为 2 , 1） （1, 2 。三、函数表示法函数表示法主要有以下三种解析法用数学式子表示变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为解析法。例如y x2y sin x1 x , x 0f （ x）图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形，也可以确定一个函数关系，这种表示函数的方法称为图形法。表示一天内温度随时间变化的函数关系。列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表，这种表示函数的方法称为列表法。如对数函数表、三角函数表等

3、等。3四、函数的几种属性单调性请看下面两个图左边的图形表示， 函数值随自变量的增加而增加， 就称函数单调增加， 数学上描述为：如果当任意的 x1 , x2 （a , b） 且 x1 x2 时，恒有f （ x1 ） f （x2 ）则称函数 f （x） 在区间 （a , b） 内是单调上升 的或单调增加 的。右边的图形表示， 函数值随自变量的增加而减少， 就称函数单调减少， 数学上描述为：则称函数 f （x） 在区间 （a , b） 内是单调下降 的或单调减少 的。奇偶性左边的函数图形关于 y 轴对称，就称函数是偶函数，数学上描述为：如果函数 y f （x） 的定义域 D 以原点为对称， 且恒满足

4、等式 f （ x） f （x） ，则称 f （ x） 是4偶函数。右边的函数图形关于原点对称， 就称函数是奇函数， 数学上描述为： 如果函数 y f （x） 的定义域 D 以原点为对称，且恒满足等式 f （ x） f （ x） ，则称 f （ x） 是奇函数。例 3 判断下列函数的奇偶性：f （ x） x ； f （x）lg 1x（ 1, 1）解由绝对值的性质，对任意x 有f （x）f （x）由此可知 f （ x） 是偶函数。由对数函数的性质，对任意1, 1）有lg（ 1x ） 1由此可知 f （ x） 是奇函数。判断函数的奇偶性也可以利用以下结论：偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇

5、函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如， y x sin x 是奇函数， y x cosx 也是奇函数。1.3 初等函数要了解初等函数，首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数，它们是常数函数 y c c R常数函数的图形如下5幂函数 y x R幂函数的图形如下指数函数y ax a 0, a 1指数函数的图形如下对数函数y log a x a 0 , a 1对数函数的图形如下6三角函数正弦函数ysin x余弦函数cosx正切函数tan x余切函数cot x正弦、余弦、和正切函数的图形分别是反三角函数反正弦函数 y arcsin x反余

6、弦函数 y arccosx反正切函数 y arctanx反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是7二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前， 先介绍函数的四则运算： 设 f （ x） ， g（x） 是两个函数， 定义域分别为 D1 ， D 2 ，如果 D D1 D2 不是空集，那么在 D 上可以得到以下函数f （x） g（ x） f （ x） g （x）f （ x） g（ x） f （ x） / g（ x）这里要注意，最后一个函数 f （ x） / g（ x） 的定义域要在 D 中去掉使 g （ x） 0 的点。除了函数的四则运算外，再看下面复杂一些的运算，如函数y lg sin x可以看作

7、由函数 y lg u 和 u sin x 构成的，这种构成方式就是一种新的运算。一般地，由两个函数 y f （u） 和 u g（ x） 构成的对应规则 y f （ g （x） 称为 f 和 g 这两个函数的复合函数 。三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成，能用一个解析式表示的函数称为初等函数。函数sin x, x 01 x, x 0不是初等函数，这类函数称为分段函数。8第 2 讲 极限与连续微积分的主要研究对象是函数， 它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的极限。极限的严格描述奠定了微积分的理论基础， 而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。2.2

8、函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数 y arctanx 的图形当自变量 x 向变化时，函数值在向靠近。而且 x 向充分接近时，函数值可以和 任意靠近。我们将x 向充分接近说成x 趋于，记为 x。一般地，当自变量 x 趋于时，如果函数 f （ x） 的函数值和某个常数A 任意靠近，我们就称函数 f （x）当 x 趋于时以 A 为极限（或称当 x 趋于时， f （ x） 的极限是 A ）。记为limA 或 f （x）A（x）如我们在开始看到的情形就是lim arctanx类似可以得到（ ）B ，仍以反正切函数为例，有lim arctan x再一次观察反正切函数arctan x 的图形

9、， 当自变量 x 向点 x0 变化时， 函数值在向 0 靠近。而且 x 向点 x0 充分接近时， 函数值可以和任意靠近。 我们将 x 向点 x 0x 趋于 00 。一般地，当自变量x 趋于 x0时，如果函数 f （ x） 的函数值和某个常数 A 任意靠近，我们就称函数f （ x） 当 x 趋于 x0 时以 A 为极限（或称当 x 趋于 x0 时， f （ x） 的极限是 A ）。9lim f （x） A 或 f （ x） A （ x x0 ）x x0这样我们就得到lim arctanx 0x 0极限 lim f （ x） A 的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在，也可能不存在

10、，如函数0 时的极限就不y sin 当 x存在，我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出，这个函数当 x 1时没有极限，但当 x 从大于 1的方向趋于 1时，函数值与2.5 任意接近。 一般地， 当自变量 x 从大于 x0 的方向趋于 x0 时，如果函数 f （ x） 的函数值和某个常数 A 任意靠近，就称A 为 f （x） 在点 x0 的右极限，记为类似可以给出 f （ x） 在点 x0的左极限，记为B 。如此一来我们就有了以下结论lim f （x） 存在的充分必要条件是 limf （ x） 和 limf （x） 都存在，且10lim f （x）二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极

11、限，我们不加证明地给出极限的运算法则：若lim f （x） ， lim g（ x） 存在，则有lim f （ x）g （x）lim g（ x）lim f （x） g （x）lim g （x）lim cf （ x） c lim f （x）c 为常数limf （ x） （假定 lim g （ x）0 ）g （ x）例 1求 limx23x2 。x 2解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则，但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则，lim x23x 2lim （x 2）（ x 1）x 2 x2x 6x 2 （ x 2）（ x 3）lim （ x1）lim （x3） 5x 2 x例

12、22xlim （1 232lim （ 2只有极限的四则运算法则对解决的计算还是不够的， 接下来我们大家介绍两个重要的极限。112.3 两个重要极限我们先给出两个重要的极限公式lim （1 1 ） xexx之所以说这是两个重要极限，一方面因为它们出自于两个极限存在定理，另外在后面求基本初等函数的导数时需要用到。在这里我们只给出第一个极限的证明，为此先不加证明地给出一个极限存在定理夹逼定理设在 x0 的某领域内（可不包含点x0 ）有g （x） f （x）h（ x）且g xh x，则存在且lim （ ）lim （x0下面就来证明第一个重要极限，先看一下下面这张图图中的圆周是单位圆周，圆心角 AOB

13、的弧度是 x ，则有线段 BD 的长度为 sin xAB 弧的长度为 x线段 AE 的长度为 tan x当 0时，有0 sin x从而有cos x当 x 0时， lim cosx1 ，由夹逼定理得lim sin x12由于 sin x , x , tan x 都是奇函数，因此当0 时，有sin（ x）tan（当时，lim cosxlim 1，由夹逼定理得最后得到x 0 x例3 求 lim sin 3x 。x0x本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。 注意到 x 趋于 0 时，3x也趋于0，有lim sin 3xlim 3 sin 3x3lim sin（3x）3 1 3x 0 （3

14、x）例 4sin（x23）x 3x 2xx 趋于 3 时，本题不能直接应用第一个重要极限公式，需要作适当变换。注意到（ x 3） 趋于 0，有sin（ xx 3 （x 3）（ x（ x（x 1）lim sin（ x 3）（x 3）x 3 （ x 1）2.4 无穷小量与无穷大量定义 2.5 极限为零的量称为 无穷小量 。定理 2.1 lim f （ x） A 的充分必要条件是f （x） A （x）其中 （x） 是无穷小量。13利用极限的运算法则很容易得到无穷小量的如下性质有限个无穷小量的代数和是无穷小量。有限个无穷小量的乘积是无穷小量。无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量。任意常数与无穷小量的乘积

15、是无穷小量。例5 求 lim xsin 。当 x0 时极限不存在，但它是有界变量，而x 是无穷前面我们已经知道， sin小量。由无穷小量的性质3 知 xsin 1是无穷小量，即lim x sin 1如果 f （ x） , g （ x） 都是无穷小量， 而 g （ x） 仍然是无穷小量， 这是称 g（ x） 是关于 f （x） 的高阶无穷小量，记为 g（ x）o（ f （x） 。如果是无穷小量，那么称f （x） 为无穷大量。1 当 x0 时就是无穷大量。2.5 函数的连续性先看看下面的图形以上几个函数的图形在点 x 1都存在不同形式的 “断裂”，但归纳起来， 这些情况属于要么 f （x） 在 x 1的极限不存在，要么f （ x） 在 x 1 的极限不等于在该点的函数值。定义 2.6 设函数 f （x） 在 x x0 的一个邻域内有定义，且等式lim f （x） f （ x0 ） 成立，则称 f （x） 在点 x0 处连续， x0 称为函数f （ x） 的连续点 。若 x0 不是 f （ x） 的连续点， 则 x0 称为函数 f （x） 的间断点 。14例 6 判断设函数ex ,x ,