上海市2013年春沪教版数学八年级下册《四边形》练习题(有答案).doc
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四边形证明题及综合题
1、已知：
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，∠BAE=∠DAF．
（1）求证：
BE=DF；
（2）联结AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，联结EM、FM．
A
D
B
E
F
O
C
M
第1题图
求证：
四边形AEMF是菱形．
2、如图8，已知梯形中，，、分别是、的中点，点在
（第2题图）
边上，且．
（1）求证：
四边形是平行四边形；
（2）联结,若平分，
求证：
四边形是矩形．
（第3题图）
E
A
C
D
F
B
P
3、如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=AB=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P。
（1）求证：
AF=BE；
（2）请猜测∠BPF的度数，并证明你的结论。
4、如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足.
N
M
D
C
B
A
（1）求证：
AN=CM；
（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积.
A
B
（图5）
D
C
O
E
F
5.如图.在平行四边形中，为对角线的交点，点为线段延长线上的一点，且.过点作∥，交于点，联结.
（1）求证：
∥；
（2）如果梯形是等腰梯形，判断四边形的形状，
并给出证明.
（第6题）
A
B
C
D
G
H
E
F
M
6、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，DE与CF相交于G，DE、CB的延长线相交于点H，点M是CG的中点．
求证：
（1）BM//GH；
（2）BM⊥CF．
7．已知：
如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于点C，BD平分∠ABC，交AE于点D，联结CD.求证：
四边形ABCD是菱形．
8．如图，在正方形中，点、分别是边、的中点，与相交于，、的延长线相交于点，点是的中点.
求证：
（1）
（2）
9．已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，点E、F在边BC上，BE=CF，EF=AD．
A
B
E
F
C
D
求证：
四边形AEFD是矩形．
（第9题）
A
B
C
D
G
E
F
10．如图，在□ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作AG//DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：
DE∥BF；
（2）若∠G＝，求证：
四边形DEBF是菱形．
11．（第11题图）
A
B
F
C
D
E
已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与边BC相交于点F．
求证：
四边形AFCD是菱形．
12．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
A
B
D
C
E
F
（第12题图）
已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC，点E、F在边BC上，DE//AB，AF//CD，且四边形AEFD是平行四边形．
（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？
并证明你的结论；
（2）现有三个论断：
①AD=AB；②∠B+∠C
=90°；③∠B=2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．
13．已知：
如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD与点M，折痕交边BC于点N.
（1）写出图中的全等三角形.设CP=，AM=，写出与的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°.如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由.
14、已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），
过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F.
（1）当点E落在线段CD上时（如图10），
①求证：
PB=PE；
②在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？
若不变，试求出这个不变的值，
若变化，试说明理由；
（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断
上述
（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；
（3）在点P的运动过程中，⊿PEC能否为等腰三角形？
如果能，试求出AP的长，如果
不能，试说明理由．
D
C
B
A
E
P
。
F
（图1）
D
C
B
A
（备用图）
15、如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.
（1）求点的坐标.
（2）请判断△的形状并说明理由.
（3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
16．已知：
如图，梯形中，∥，，，．是直线上一点，联结，过点作交直线于点．联结．
（1）若点是线段上一点（与点、不重合），（如图1所示）
①求证：
．
②设，△的面积为，求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．
（第3题图1）
（2）直线上是否存在一点，使△是△面积的3倍，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由．
（第3题备用图）
17．已知：
O为正方形ABCD对角线的交点，点E在边CB的延长线上，联结EO，OF⊥OE交BA延长线于点F，联结EF（如图4）。
（1）求证：
EO=FO；
（2）若正方形的边长为2，OE=2OA，求BE的长；
E
（3）当OE=2OA时，将△FOE绕点O逆时针旋转到△F1OE1，使得∠BOE1=时，试猜想并证明△AOE1是什么三角形。
F
B
A
O
D
C
（图4）
（备用图）
A
B
C
D
O
18．（本题满分10分，第
（1）小题3分，第
（2）小题4分，第（3）小题3分）
如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、AD的延长线上，且EA⊥CF，垂足为H，
AE与CD相交于点G．
（1）求证：
AG=CF；
（2）当点G为CD的中点时（如图1），求证：
FC=FE；
（3）如果正方形ABCD的边长为2，当EF=EC时（如图2），求DG的长．
A
B
C
D
E
F
H
G
A
B
C
D
E
F
H
G
图2
图1
答案
1．证明：
（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠B=∠D=90°…………………………（2分）
∵∠BAE=∠DAF
∴△ABE≌△ADF……………………………………………………………（1分）
∴BE=DF……………………………………………………………………（2分）
（2）∵正方形ABCD，∴∠BAC=∠DAC………………………………………（1分）
∵∠BAE=∠DAF∴∠EAO=∠FAO……………………………………（1分）
∵△ABE≌△ADF∴AE=AF…………………………………………（1分）
∴EO=FO，AO⊥EF…………………………………………………………（2分）
∵OM=OA∴四边形AEMF是平行四边形……………………………（1分）
∵AO⊥EF∴四边形AEMF是菱形……………………………………（1分）
2．
（1）证明：
联结EG，
∵梯形中，，且、分别是、的中点，
∴EG//BC，且，…………………………（2分）
又∵
∴EG=BF．……………………………………………………（1分）
∴四边形是平行四边形．…………………（2分）
（2）证明：
设AF与EG交于点O，
∵EG//AD，∴∠DAG=∠AGE
∵平分，∴∠DAG=∠GAO
∴∠GAO=∠AGE
∴AO=GO．………………………………（2分）
∵四边形是平行四边形，
∴AF=EG，四边形是矩形…………………………（2分）
3．证明：
（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC
∴∠BAE=∠ADF………………………………………………（1分）
∵AD=DC∴AE=DF…………………………………………（1分）
∵BA=AD∴△BAE≌△ADF，…………………………………（1分）
∴BE=AF．…………………………………………………………（1分）
（2）猜想∠BPF=120°．……………………………………………………（1分）
∵由
（1）知△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．…………………（1分）
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．……………………………………（1分）
而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴=120°．
∴∠BPF=∠BAE=120°．………………………………………………（1分）
4、证：
（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC.
∴∠DAC=∠BCA.
又∵DN⊥AC，BM⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC.
∴⊿DAN≌⊿BCM,---------------------------------------------------（3分）
∴AN=CM.---------------------------------------------------------------（1分）
（2）联结BD交AC于点O，
∵AN=NM=2,
∴AC=BD=6,
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=DO=3，
在⊿ODN中，OD=3，ON=1，∠OND=,
∴DN=,--------------------------------------（2分）
∴矩形ABCD的面积=.-----------------------（1分）
A
B
（第5题图1）
D
C
O
E
F
G
5.解：
（1）方法1：
延长交于（如图1）.……………1分
在平行四边形中，∥，.
∵∥，∥，
∴四边形是平行四边形.
∴.……………1分
又∵，，
∴.……………1分
∵∥，∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.A.S）.∴.…………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥.………………1分
A
B
（第5题图2）
D
C
O
E
F
G
方法2：
将线段的中点记为，联结（如图2）.………………1分
∵四边形是平行四边形，∴.
∴∥.…………1分
∴.
∵∥，∴.
∵，，
∴.
在和中，
∵，，，
∴≌（A.S.A）.…………………1分
∴.
又∵∥，
∴四边形是平行四边形.…………………1分
∴∥.…………………1分
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