第四章 MATLAB的数值计算功能文档格式.docx
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P(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
则其系数矢量(Vectorofcoefficient)为:
P=[a0a1…an-1an]
如将根矢量(Vectorofroot)表示为:
ar=[ar1ar2…arn]
则根矢量与系数矢量之间关系为:
(x-ar1)(x-ar2)…(x-arn)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2…an-1x+an
(2)多项式的创建(polynomialcreating)
a)系数矢量的直接输入法
利用poly2sym函数直接输入多项式的系数矢量,就可方便的建立符号形式的多项式。
例1:
创建多项式x3-4x2+3x+2
poly2sym([1-432])
ans=
x^3-4*x^2+3*x+2
POLYConvertrootstopolynomial.
POLY(A),whenAisanNbyNmatrix,isarowvectorwith
N+1elementswhicharethecoefficientsofthecharacteristicpolynomial,DET(lambda*EYE(SIZE(A))-A).
POLY(V),whenVisavector,isavectorwhoseelementsare
thecoefficientsofthepolynomialwhoserootsarethe
elementsofV.Forvectors,ROOTSandPOLYareinverse
functionsofeachother,uptoordering,scaling,and
roundofferror.
b)由根矢量创建多项式
已知根矢量ar,通过调用函数p=poly(ar)产生多项式的系数矢量,再利用poly2sym函数就可方便的建立符号形式的多项式。
例2:
由根矢量创建多项式。
将多项式(x-6)(x-3)(x-8)表示为系数形式的多项式。
a=[638]%根矢量
pa=poly(a)%求系数矢量
ppa=poly2sym(pa)%以符号形式表示原多项式
ezplot(ppa,[-50,50])
pa=
1-1790-144
ppa=
x^3-17*x^2+90*x-144
说明:
(1)根矢量元素为n,则多项式系数矢量元素为n+1;
(2)函数poly2sym(pa)把多项式系数矢量表达成符号形式的多项式,缺省情况下自变量符号为x,可以指定自变量。
(3)使用简单绘图函数ezplot可以直接绘制符号形式多项式的曲线。
例3:
由给定复数根矢量求多项式系数矢量。
r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];
p=poly(r)
pr=real(p)
ppr=poly2sym(pr)
p=
1.00001.10000.55000.1250
pr=
ppr=
x^3+11/10*x^2+11/20*x+1/8
含复数根的根矢量所创建的多项式要注意:
(1)要形成实系数多项式,根矢量中的复数根必须共轭成对;
(2)含复数根的根矢量所创建的多项式系数矢量中,可能带有很小的虚部,此时可采用取实部的命令(real)把虚部滤掉。
如果需要进行系数表示形式的多项式的求根运算,有两种方法可以实现,一是直接调用求根函数roots,poly和roots互为逆函数。
另一种是先把多项式转化为伴随矩阵,然后再求其特征值,该特征值即是多项式的根。
c)特征多项式输入法
用poly函数还可实现由矩阵的特征多项式系数创建多项式。
条件:
特征多项式系数矢量的第一个元素必须为一。
例2:
求三阶方阵A的特征多项式系数,并转换为多项式形式。
a=[638;
756;
135]
Pa=poly(a)%求矩阵的特征多项式系数矢量
Ppa=poly2sym(pa)
Pa=
1.0000-16.000038.0000-83.0000
Ppa=
注:
n阶方阵的特征多项式系数矢量一定是n+1阶的。
例4:
将多项式的系数表示形式转换为根表现形式。
求x3-6x2-72x-27的根
a=[1-6-72-27]
r=roots(a)
r=
12.1229
-5.7345
-0.3884
MATLAB约定,多项式系数矢量用行矢量表示,根矢量用列矢量表示。
>
2.多项式的乘除运算(Multiplicationanddivisionofpolynomial)
向量的卷积与解卷积对应着多项式的乘除法,多项式乘法(卷积)用函数conv(a,b)实现,除法(解卷积)用函数deconv(a,b)实现。
长度为m的向量a和长度为n的向量b的卷积定义为:
C(k)=
C向量的长度为:
m+n-1
解卷积是卷积的逆运算是向量a对向量c进行解卷积将得到商向量q和余量r,并且满足:
例1:
a(s)=s2+2s+3,b(s)=4s2+5s+6,计算a(s)与b(s)的乘积。
a=[123];
b=[456];
%建立系数矢量
c=conv(a,b)
cs=poly2sym(c,’s’)%建立指定变量为s的符号形式多项式
c=
413282718
cs=
4*s^4+13*s^3+28*s^2+27*s+18
展开(s2+2s+2)(s+4)(s+1)(多个多项式相乘)
c=conv([1,2,2],conv([1,4],[1,1]))
cs=poly2sym(c,’s’)%(指定变量为s)
1716188
s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8
求多项式s^4+7*s^3+16*s^2+18*s+8分别被(s+4),(s+3)除后的结果。
c=[1716188];
[q1,r1]=deconv(c,[1,4])%q—商矢量,r—余数矢量
[q2,r2]=deconv(c,[1,3])
cc=conv(q2,[1,3])%对除(s+3)结果检验
test=((c-r2)==cc)
q1=
1342
r1=
00000
q2=
1446
r2=
0000-10
cc=
17161818
test=
11111
3.其他常用的多项式运算命令(Othercomputationcommandofpolynomial)
pa=polyval(p,s)按数组运算规则计算给定s时多项式p的值。
pm=polyvalm(p,s)按矩阵运算规则计算给定s时多项式p的值。
[r,p,k]=residue(b,a)部分分式展开,b,a分别是分子分母多项式系数矢量,r,p,k分别是留数、极点和直项矢量
p=polyfit(x,y,n)用n阶多项式拟合x,y矢量给定的数据。
polyder(p)多项式微分。
对于多项式b(s)与不重根的n阶多项式a(s)之比,其部分分式展开为:
式中:
p1,p2,…,pn称为极点(poles),r1,r2,…,rn称为留数(residues),k(s)称为直项(directterms),假如a(s)含有m重根pj,则相应部分应写成:
RESIDUEPartial-fractionexpansion(residues).
[R,P,K]=RESIDUE(B,A)findstheresidues,polesanddirecttermofapartialfractionexpansionoftheratiooftwopolynomialsB(s)/A(s).Iftherearenomultipleroots,
B(s)R
(1)R
(2)R(n)
----=--------+--------+...+--------+K(s)
A(s)s-P
(1)s-P
(2)s-P(n)
VectorsBandAspecifythecoefficientsofthenumeratoranddenominatorpolynomialsindescendingpowersofs.Theresidues
arereturnedinthecolumnvectorR,thepolelocationsincolumnvectorP,andthedirecttermsinrowvectorK.Thenumberofpolesisn=length(A)-1=length(R)=length(P).Thedirecttermcoefficientvectorisemptyiflength(B)<
length(A),otherwise
length(K)=length(B)-length(A)+1.
IfP(j)=...=P(j+m-1)isapoleofmultplicitym,thentheexpansionincludestermsoftheform
R(j)R(j+1)R(j+m-1)
--------+------------+...+------------
s-P(j)(s-P(j))^2(s-P(j))^m
[B,A]=RESIDUE(R,P,K),with3inputargumentsand2outputarguments,convertsthepartialfractionexpansionbacktothepolynomialswithcoefficientsinBandA.
例3:
对(3x4+2x3+5x2+4x+6)/(x5+3x4+4x3+2x