第四章平面图分析文档格式.docx

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Definition:

agraphcanbedrawninaplanesothatnoedgescrossexceptatvertices.

例4.2对于图4.1（a）中和无向图来说，将此图的图解重新画之后，它不包含任何交叉，如图4.1（b）所示。

因此，给定的图是一个平面图。

例4.3K1（平凡图），K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图4.2中（4）所示。

K5－e（K5删除任意一条边）也是平面图，它的平面嵌入可表示为图4.2中（5）。

完全二部图K1,n（n≥1）,K2,n（n≥2）,也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图4.2中（6）给出。

图4.2中

（1），

（2），（3）分别为K4,K5－e,K2,3的标准画法。

图4.2可平面化图

例4.4图4.3（a）所示的立方体是否可平面化？

.

（a）（b）（c）

图4.3可平面化立方体

解：

图4.3（a）的图解包括有交叉边。

它对它的图解难重新画之后，没有任何两个边是交叉的。

因此它是可平面的。

见图4.3（b）和（c）.

将结点和边画成彩色的可清楚地看出平面嵌入。

设G=<

是能够画于平面上的图解中的无向图，并且设

C=v1…v2…v3…v4…v1是图中的任何基本循环。

此外，设x=v1…v3和x′=v2…v4是图中的任意两条不交叉的基本路径。

在图4.4中，给出了两种可能的结构。

显然，当且仅当x和x′或者都在基本循环C的内部，或者都在基本循环C的外部，G才是个非平面图，因为这时基本路径x和x′是相互交叉的。

判断一个图是非平面图时，上面的性质甚为有效。

图4.4

例4.5设有一个电路，它含有两个结点集V1和V2，且

=3。

用导线把一个集合中的每一个结点，都与另外一个集合中的每一个结点连通，如图所示。

试问，是否有可能这样来连线，使得导线相互不交叉？

图4.5

这个问题等价于判断图4.5是否是个平面图。

可以看出，给定图中有一个基本循环C=v1v6v3v5v2v4v1，如图4.6（a）所示。

试考察三条边（v1,v5）,（v2,v6）和（v3,v4）。

上述的边中的每一条，或者处于C的内侧，或者处于C的外侧。

显然，三条边中至少有两条边必定处于C的同一侧，因此避免不了交叉，如图4.6（b）所示。

故给定图是非平面图。

（a）（b）

图4.6

在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图。

图4.7

还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。

定理4.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。

　由定理4.1立刻可知，Kn（n≤4）和K1,n（n≥1）的所有子图都是平面图。

定理4.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。

母图：

V，E>

，G'

=<

V'

，E'

>

为两个图（同为无向图或同为有向图），若V'

V且E'

E，则称G'

是G的子图，G为G'

的母图

推论Kn（n≥5）和K3,n（n≥3）都是非平面图。

　　本推论由K5，K3,3不是平面图及定理4.2得证。

　　还有一个明显的事实也用定理给出。

定理4.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。

　　本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。

4.1.2平面图的面与次数

定义4.2设G是一个连通平面图（且已是平面嵌入），由图中的边所包围的区域称为G的一个面（face），包围该面的诸边所构成的回路称为这个面的边界（boundary）。

例4.5图4.8具有6个结点和9条边，它把平面划分成五个面。

其中r1,r2,r3,r4四个面是由回路构成边界，如r1由回路badb所围，r2由回路bdcb所围，,r3可看作从点c开始围绕,r3按反时针方向，得到一个回路cdefec所围。

另外还有一个面r5在图形之外，不受边界约束，称作无限面。

图4.8

规定：

面的边界的回路长度称作是该面的度数（degreeofaplane），记为deg（r）。

例如图4.8中，deg（r1）=3,deg（r2）=3,deg（r3）=5,deg（r4）=4，deg（r5）=3

定理4.4一个有限平面图，面的次数之和等于其边的两倍。

证明：

因为任何一条边，或者是二个面的公共边，或者在一个面中作为边界被重复计算两次，故面的次数之和等于其边数的两倍。

例4.8图中，

，正好是边数的两倍。

4.1.3极大平面图及性质

定义4.3设G为简单平面图，若在G的任意不相邻的顶点u，v之间加边（u，v），所得图为非平面图，则称G为极大平面图。

　　从定义不难看出，K1，K2，K3，K4，,K5-e（K5删除任意一条边）都是极大平面图。

还可以容易地证明下面两个定理。

定理4.5极大平面图是连通的。

定理4.6设G是n（n≥3）阶极大平面图，则G中不可能存在割点和桥。

　　极大平面图的特点由下面定理给出。

定理4.7设G为n（n≥3）阶简单连通的平面图，G为极大平面图充分必要条件是：

（1）G的每个面的次数均为3.

（2）设G有m条边r个面，则3r=2m。

（3）设G有n个顶点，m条边和r个面，则m=3n-6，r=2n-4

例4.5在图4.9所示的各平面图中，只有（3）是极大平面图。

图4.9

4.1.4、极小非平面图

定义4.4若在非平面图G中任意删除一条边，所得图为平面图，则称G为极小非平面图。

　　可以验证，K5和K3,3都是极小非平面图。

4.2欧拉公式

4.2.1欧拉公式及其推广

　　欧拉在研究多面体时发现，多面体的顶点数减去棱数加上面数等于2。

后来发现，连通的平面图的阶数，边数，面数之间也有同样的关系。

定理4.8（欧拉公式）对于任意的连通的平面图G，有

n-m+r=2

其中，n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。

例如下图中，r=4,n=6,m=8,则n-m+r=6-8+4=2

图4.10

证对边数m作归纳法。

（1）m＝0时，由于G为连通图，所以G只能是平凡图，则有n=1，m=0，r=1，结论成立。

（2）若m=1,即n=2,m=1,r=1,则n-m+r=2,结论成立。

（3）设m＝k（k≥1）时欧拉公式成立。

即n'

-m'

+r'

=2。

证明当m＝k+1时，结论也成立。

对G进行如下讨论。

因为G是连通的，在有k条边的连通图上增加一条边，仍为连通图。

于是有下面两种情况：

　　①若G是树，则在G中加一条边使G仍为树。

见图4.11（a）。

此时，G的点数和边数各增加了1，而面数没变。

即m=m'

+1,n=n'

+1，r=r'

。

由归纳假设可知

n'

=2

于是

n-m+r=（n'

+1）-（m'

+1）+r'

=n'

　　②若G不是树，则G中含回路。

用一条边连接图上的两个已知点u和v，如图4.11（b）所示。

此时，边数和面数都增加了1,而结点数没变。

+1，n'

=n，r'

=r-1，由归纳假设有

于是:

n-m+r=n'

-（m'

+1）-（r'

+1）=n'

=2结论成立。

（a）（b）

图4.11

欧拉公式中，平面图G的连通性是不可少的。

对于非连通的平面图有下面定理成立。

欧拉公式常用来判断一个图是非平面图。

例4.6证明K3,3是非平面图。

证：

假设K3,3是平面图。

则图中的任何一个回路至少有4条边，作为面的边界的边至少是4r。

而在平面图中，任何一条边至多是两个回路的边界。

因此有：

2m≥4r

应用欧拉公式：

n-m+r=2得：

2m≥4（m-n+2）

对于K3,3，m=9,n=6代入上式：

18≥4（9-6+2）=20矛盾

所以，K3,3不是平面图。

同理可证K5不是平面图。

定理4.9（欧拉公式的推广）对于具有k（k≥2）个连通分支的平面图G，有

n-m+r=k+1

其中n，m，r分别为G的顶点数，边数和面数。

　　证设G的连通分支分别为G1，G2，…，Gk，并设Gi的顶点数，边数，面数分别为ni，mi，ri，i=1，2，…，k.由欧拉公式可知:

ni-mi+ri=2，i=1，2，…，k（4.1）

易知，m=

，n=

，由于每个Gi有一个外部面，而G只有一个外部面，所以

G的面数r=

-k+1,于是，对（4.1）的两边同时求和得

2k=

（ni-mi+ri）

=

ni-

mi+

ri

=n-m+r+k-1

经过整理得

　　将定理4.9称为欧拉公式的推广。

由欧拉公式及其推广可以得到平面图的另外一些性质。

4.2.2平面图的边数m与顶点数n的关系

定理4.10设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l（l≥3），则G的边数m与顶点数n有如下关系：

m≤

（n－2）

　　由定理4.4可知:

2m=

deg（Ri）≥l·

r　（4.2）

由欧拉公式可知:

r=2+m-n　（4.3）

将（4.3）代入（4.2）得

2m≥l（2+m-n）

经过整理得:

推论K5与K3,3都不是平面图。

　　证若K5是平面图，由于K5中无环和平行边，所以每个面的次数均大于或等于l≥3，由定理4.10可知边数10应满足

10≤

（5-2）=9

这是个矛盾，所以K5不是平面图。

　　类似地，若K3,3是平面图，由于K3,3中最短圈的长度为l≥4，于是边数9应满足

9≤

（6-2）=8

这又是矛盾的，所以K3,3也不是平面图。

利用欧拉公式的推广形式容易证明此定理。

而对于有k个连通分支的平面图，边数与顶点之间的关系可由下列定理给出。

定理4.11设G是有k（k≥2）个连通分支的平面图，各面的次数至少为l（l≥3），则边数m与顶点数n应有如下关系：

（n-k-1）

证明略。

定理4.12设G是n（n≥3）阶m条边的连通平面图，则

m≤3n-6

证由于G是连通平面图，又因为n≥3，故对图G中的每个面来说，deg（ri）≥3,因而有：

2m=

再由欧拉公式:

3n-3m+3r=6

3n-6=3m-3r≥3m-2m=m