三角形辅助线的作法总结.docx
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三角形---作辅助线
知识点一：
利用转化倍角，构造等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形.
如图①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；
如图②中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；
B
C
D
A
①
②
B
C
D
A
③
B
C
D
A
如图③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形.
D
C
B
A
1、如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：
∠DBC＝∠BAC.
A
B
C
2、如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：
∠A＝90°.
知识点二：
利用角平分线+平行线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.
如图①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；
如图②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；
如图③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；
①
A
D
C
B
E
②
E
C
B
D
A
B
A
C
D
E
③
④
A
B
F
C
D
E
G
如图④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AGE是等腰三角形.
3、如图，△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F.求证：
.AE＝AP.
F
B
A
C
P
E
F
C
D
E
B
A
4、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE＝CD，EF＝AC.
求证：
EF∥AB.
知识点三：
利用角平分线+垂线，构造等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中，
E
图1
A
B
C
D
若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形.
5、如图2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D。
求证：
BF＝2CD.
图2
B
F
D
C
A
知识点四：
截长补短法
A
B
C
D
E
6、如图，已知：
正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，
求证：
AB+BE=AC．
E
A
B
C
D
F
知识点五：
倍长中线法
题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。
7、如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．
求证：
AC=BF
A
E
8、已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图,求证EF＝2AD。
F
B
知识点六：
平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线．
A
B
C
P
Q
O
9、△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：
AB+BP=BQ+AQ．
O
A
B
C
P
Q
D
图
（1）
A
B
C
P
Q
D
E
图
（2）
O
说明：
⑴本题也可以在AB截取AD=AQ，连OD，
构造全等三角形，即“截长补短法”．
⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下：
①如图
（1），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO来解决．
A
B
C
P
Q
图（3）
D
O
②如图
（2），过O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，
则△ADO≌△AQO，△ABO≌△AEO来解决．
③如图（3），过P作PD∥BQ交AB的延长线于D，则△APD≌△APC来解决．
A
B
C
P
Q
图（4）
D
O
④如图（4），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP来解决．
A
B
C
D
M
10、已知：
如图，在△ABC中，∠A的平分线AD交BC于D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长于M．
求证：
AM=（AB+AC）
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