八年级数学培优讲义第01讲 勾股定理培优 学生版.docx

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八年级数学培优讲义第01讲勾股定理培优学生版

第01讲勾股定理培优

一、勾股定理：

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．

二、勾股定理常见证明方法：

赵爽“弦图”“总统”法

三、勾股定理逆定理：

如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.

利用此定理可以判断三角形的形状：

在△ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b.

（1）若，则∠C是锐角；

（2）若，则∠C是钝角.

四、勾股数：

满足不定方程的三个正整数，称为勾股数，显然，以a，b，c为三边长的三角形一定是直角三角形.

1、（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；（9，40，41）

2、如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k为正整数）；

五、特殊直角三角形的三边

等腰直角三角形：

边长比例——

30°的直角三角形：

边长比例——

六、勾股定理及其逆定理的应用

1.已知直角三角形的任意两边长，求第三边：

在△ABC中，∠C=90°，则，，.

2.已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系.

3.可运用勾股定理解决一些实际问题.

4.应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形.

5.勾股定理解决几何问题：

求线段长度、求面积、折叠问题.

6.数形结合解决无理不等式或无理式最值问题：

（1）将所需表示的无理式表示成勾股数的平方和形式；

（2）将表示无理数的线段在平面上适当组合；

（3）利用三角形三边关系证明无理不等式或者两点之间线段最短求无理式最值.

类型一、勾股定理列方程求直角三角形边长

例题1.如图，已知Rt△ABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC边上一点，当AD是∠A的平分线时，则CD=____.

练习1：

如图：

Rt△ABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC＝3，BC＝5，求AE的长．

练习2：

:

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，△ABC的角平分线BF与高AD交于点E．若AC＝4，BC＝5，

求AE的长．

类型二：

等积法

例题2：

如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于

点E，则PD+PE的长是（　　）

A．4.8B．6C．3.8D．5

练习1：

如图，在△ABC中，AB＝AC＝26cm，BC＝20cm，D是AB的中点，过D作DE⊥AC于E，则DE的长

为　　．

练习2：

如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（　　）

A．B．C．D．

类型三：

利用特殊角构造直角三角形

例题3：

在△ABC中，∠C=45°，AB=5，AC=4，求BC的长.

练习1：

在△ABC中，∠C=135°，AC=，BC=2，求AB的长.

练习2：

如图所示，在四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°，试探索以AB，BC，BD为边能否组成直角三角形，并说明理由.（提示：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）

类型四：

勾股定理逆定理

例题4：

如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D为斜边BC中点，DE⊥DF，求证：

EF2＝BE2+CF2．

练习：

如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．

（1）证明：

AP＝CQ；

（2）若PA：

PB：

PC＝3：

4：

5，连结PQ，证明：

△PQC是直角三角形．

类型五：

利用勾股定理解决二次根式最值

例题5：

若x＞0，y＞0，且x+y＝12．则的最小值是　　．

练习：

为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想．具体方法是这样的：

如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，

DE＝5，BD＝8，设BC＝x．则，，则问题即转化成求AC+CE的最小值．

（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于　　，此时x＝　　；

（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值．

类型六：

“将军饮马”问题

例题6．如图，E为正方形ABCD的边AB上的一点，AE＝3，BE＝1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值为　　．

练习：

如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足

PE+PF＝9的点P的个数是（　　）

A．0B．4C．6D．8

类型七：

勾股定理之折叠问题

例题7：

如图，直角三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠△ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长．

练习1：

如图所示，折叠长方形（四个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB＝DC＝8cm，AD＝BC＝10cm，求EC的长．

练习2：

如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：

（1）DE的长；

（2）求阴影部分△GED的面积．

类型八：

勾股定理与旋转

例题8：

如图，P是正方形ABCD内的一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，

（1）求∠APB的度数．

（2）求正方形ABCD的面积．

练习：

（1）（操作发现）

如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．请按要求画图：

将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′，则∠AB′B＝　　．

（2）（问题解决）

如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长；

（3）（灵活运用）

如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC＝1，求∠BPC的度数．

类型九：

利用勾股定理求三角形面积

例题9：

如图，已知钝角三角形的三边为2，3，4，求该三角形的面积.

练习：

如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求△ABC的面积．

一．选择题（共5小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）

A．15B．16C．17D．18

2．如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD，则△ABC的面积是（　　）

A．18B．36C．72D．125

3．如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（　　）

A．1B．C．D．

4．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（　　）

A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm2

5．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（　　）

A．B．C．D．无法确定

二．填空题（共3小题）

6．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝4，D为BC的中点，AD⊥AB，则AC的长为　　．

7．已知：

x＞0，y＞0，x+y＝12．则的最小值为　　．

8．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为　．

三．解答题（共7小题）

9．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＝105°，AC＝2，求BC的长．

10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝3，BC＝4，求AD的长．

11．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE．

（1）求证：

BF＝DF；

（2）求证：

AE∥BD；

（3）若AB＝6，AD＝8，求BF的长．

12．如图，已知∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC和AD的长．

13．如图，△ADC和△BCE都是等边三角形，∠ABC＝30°，试证明：

BD2＝AB2+BC2．

14．已知△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积及BC的长．

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，求∠BPC的度数．