八年级数学培优讲义第01讲 勾股定理培优 学生版.docx

1、八年级数学培优讲义 第01讲 勾股定理培优 学生版第01讲 勾股定理培优一、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么二、勾股定理常见证明方法： 赵爽“弦图” “总统”法三、勾股定理逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.利用此定理可以判断三角形的形状：在ABC中，设AB=c，BC=a，AC=b.（1）若，则C是锐角；（2）若，则C是钝角.四、勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数，显然，以a，b，c为三边长的三角形一定是直角三角形.1、（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）；（7，24，25

2、）；（8，15，17）；（9，40，41）2、如果是一组勾股数，那么也是一组勾股数（k为正整数）；五、特殊直角三角形的三边等腰直角三角形：边长比例30的直角三角形：边长比例六、勾股定理及其逆定理的应用1.已知直角三角形的任意两边长，求第三边：在ABC中，C=90，则，.2.已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系.3.可运用勾股定理解决一些实际问题.4.应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形.5.勾股定理解决几何问题：求线段长度、求面积、折叠问题.6.数形结合解决无理不等式或无理式最值问题：（1）将所需表示的无理式表示成勾股数的平方和形式；（2）将表示无理数的线段在平面上适当

3、组合；（3）利用三角形三边关系证明无理不等式或者两点之间线段最短求无理式最值.类型一、勾股定理列方程求直角三角形边长例题1.如图，已知RtABC的两直角边AC=5，BC=12，D是BC边上一点，当AD是A的平分线时，则CD=_. 练习1：如图：RtABC斜边BC的中垂线交AB边于点E，若AC3，BC5，求AE的长 练习2：:如图，在RtABC中，BAC90，ABC的角平分线BF与高AD交于点E若AC4，BC5，求AE的长类型二：等积法例题2：如图，在ABC中，ABAC5，BC6，P是BC边上的动点，过点P作PDAB于点D，PEAC于点E，则PD+PE的长是（）A4.8 B6 C3.8 D5练习

4、1：如图，在ABC中，ABAC26cm，BC20cm，D是AB的中点，过D作DEAC于E，则DE的长为 练习2：如图，ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A B C D类型三：利用特殊角构造直角三角形例题3：在ABC中，C=45，AB=5，AC=4，求BC的长. 练习1：在ABC中，C=135，AC=，BC=2，求AB的长. 练习2：如图所示，在四边形ABCD中，AD=DC，ABC=30，ADC=60，试探索以AB，BC，BD为边能否组成直角三角形，并说明理由.（提示：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形） 类型四：勾股定理逆定理例题4：如图，在RtAB

5、C中，A90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2BE2+CF2练习：如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作PBQ60，且BQBP，连结CQ（1）证明：APCQ；（2）若PA：PB：PC3：4：5，连结PQ，证明：PQC是直角三角形类型五：利用勾股定理解决二次根式最值例题5：若x0，y0，且x+y12则 的最小值是 练习：为了探索代数式的最小值，小明巧妙的运用了“数形结合”思想具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作ABBD，EDBD，连接AC、EC已知AB1，DE5，BD8，设BCx则，则问题即转化成求AC+CE的最小值（1）我们知道

6、当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得的最小值等于 ，此时x ；（2）请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式的最小值类型六：“将军饮马”问题例题6如图，E为正方形ABCD的边AB上的一点，AE3，BE1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值为 练习：如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF9的点P的个数是（）A0 B4 C6 D8类型七：勾股定理之折叠问题例题7：如图，直角三角形纸片ABC，C90，AC6，BC8，折叠ABC的一角，使点B与点A重合，展开得折痕DE，求BD的长练习1：如图所示，折叠长方形（四

7、个角都是直角）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知ABDC8cm，ADBC10cm，求EC的长练习2：如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：（1）DE的长；（2）求阴影部分GED的面积 类型八：勾股定理与旋转例题8：如图，P是正方形ABCD内的一点，PA1，PB2，PC3，（1）求APB的度数（2）求正方形ABCD的面积练习：（1）（操作发现）如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上请按要求画图：将ABC绕点A按顺时针方向旋转90，点B的对应点为B，点C的对应点为C，连接BB，

8、则ABB （2）（问题解决）如图2，在等边三角形ABC内有一点P，且PA2，PB，PC1，求BPC的度数和等边三角形ABC的边长；（3）（灵活运用）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA，BP，PC1，求BPC的度数类型九：利用勾股定理求三角形面积例题9：如图，已知钝角三角形的三边为2，3，4，求该三角形的面积. 练习：如图，ABC中，AB10，BC9，AC17，求ABC的面积 一选择题（共5小题）1如图，在ABC中，ACB90，AC8，BC7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（）A15 B16 C17 D182如图所示，在ABC中，点D是BC上的一点，已知ACC

9、D5，AD6，BD，则ABC的面积是（）A18 B36 C72 D1253如图，ABC中，AC4，BC3，AB5，AD为ABC的角平分线，则CD的长度为（） A1 B C D4已知，如图长方形ABCD中，AB3cm，AD9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（）A3cm2 B4cm2 C6cm2 D12cm25如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（） A B C D无法确定二填空题（共3小题）6如图，在ABC中，BAC120，AB4，D为BC的中点，ADAB，则AC的长为 7已知：x

10、0，y0，x+y12则的最小值为 8如图，在RtABC中，ABBC4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则BDE周长的最小值为 三解答题（共7小题）9如图，在ABC中，B45，A105，AC2，求BC的长10如图，在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC3，BC4，求AD的长11如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE（1）求证：BFDF；（2）求证：AEBD；（3）若AB6，AD8，求BF的长12如图，已知A60，BD90，AB2，CD1，求BC和AD的长 13如图，ADC和BCE都是等边三角形，ABC30，试证明：BD2AB2+BC2 14已知ABC中，A150，AB2，AC2，求ABC的面积及BC的长15如图，在ABC中，ACB90，ACBC，P是ABC内的一点，且PB1，PC2，PA3，求BPC的度数