二次函数基础讲义.docx

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二次函数基础讲义

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二次函数专题讲义

§二次函数所描述的关系

【例1】函数y=（m＋2）x＋2x－1是二次函数，则m=．

【例2】下列函数中是二次函数的有（）

①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=＋x．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【例3】正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式．

1、已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式．

2、已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式．

3、已知正方形的边长为x，若边长增加5，求面积y与x的函数表达式

【例4】如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存，到期支取时，银行将扣除利息的20%作为利息税．请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式．

【例5】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．

【例6】如图2-1-1，正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x，△ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．

【例7】某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元，进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额－生产成本－投资）为z（万元）．

（1）试写出y与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；

（2）试写出z与x之间的函数表达式（不必写出x的取值范围）；（3）计算销售单价为160元时的年获利，销售单价还可以定为多少元相应的年销售量分别为多少万件（4）公司计划：

在第一年按年获利最大确定的销售单价，进行销售；第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围内

【例6】如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

（1）在第n个图中，第一横行共有块瓷砖，每一竖列共有块瓷砖（均用含n的代数式表示）；

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与

（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形请通过计算说明为什么

课后练习:

1．已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．

2．当m时，y=（m－2）x是二次函数．

3．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．

4．已知：

一等腰直角三角形的面积为S，请写出S与其斜边长a的关系表达式，并分别求出a=1，a=，a=2时三角形的面积．

5．在物理学内容中，如果某一物体质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是E=mv2（m为定值）．

（1）若物体质量为1，填表表示物体在v取下列值时，E的取值：

v

1

2

3

4

5

6

7

8

E

（2）若物体的运动速度变为原来的2倍，则它运动时的能量E扩大为原来的多少倍

6．下列不是二次函数的是（）

A．y=3x2＋4B．y=－x2C．y=D．y=（x＋1）（x－2）

7．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）

A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠n

C．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数

8．半径为3的圆，如果半径增加2x，则面积S与x之间的函数表达式为（）

A．S=2π（x＋3）2B．S=9π＋xC．S=4πx2＋12x＋9D．S=4πx2＋12x＋9π

9．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（）

A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系．

10．下列函数中，二次函数是（）

A．y=6x2＋1B．y=6x＋1C．y=＋1D．y=＋1

11．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．

（1）求梯形的面积y与高x的表达式；

（2）求x的取值范围．

12．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：

若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q=．

13．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式

14．某工厂计划为一批正方体形状的产品涂上油漆，若正方体的棱长为a（m），则正方体需要涂漆的表面积S（m2）如何表示

15．⑴已知：

如图菱形ABCD中，∠A=60°，边长为a，求其面积S与边长a的函数表达式．

⑵菱形ABCD，若两对角线长a：

b=1：

，请你用含a的代数式表示其面积S．

⑶菱形ABCD，∠A=60°，对角线BD=a，求其面积S与a的函数表达式．

16．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从点A开始沿AB方向向点B以1cm/s的速度移动，同时，点Q从点B开始沿BC边向C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别到达B、C两点停止移动，设运动开始后第t秒钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数表达式，并指出自变量t的取值范围．

17．已知：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF．设DE=x，DF=y．

（1）AE用含y的代数式表示为：

AE=；

（2）求y与x之间的函数表达式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数表达式．

§结识抛物线

学习重点:

利用描点法作出y=x2的图象过程中，理解掌握二次函数y=x2的性质，这是掌握二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的基础，是二次函数图象、表达式及性质认识应用的开始，只有很好的掌握，才会把二次函数学好．只要注意图象的特点，掌握本质，就可以学好本节．

一、作二次函数y=x的图象。

二、议一议：

1.你能描述图象的形状吗与同伴交流。

2.图象与x轴有交点吗如果有，交点的坐标是什么

3.当x<0时，y随着x的增大，y的值如何变化当x>0时呢

4.当x取什么值时，y的值最小

5.图象是轴对称图形吗如果是，它的对称轴是什么请你找出几对对称点，并与同伴交流。

三、y=x的图象的性质：

三、例题：

【例1】求出函数y=x＋2与函数y=x2的图象的交点坐标．

【例2】已知a＜－1，点（a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，则（）

A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3

四、练习

1．函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．

2．若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=．

3．函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．

五、课后练习

1．若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．

2．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．

3．点A（，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．

4．求直线y=x与抛物线y=x2的交点坐标．

5．若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系

6．如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）

A．y=3B．y=6C．y=9D．y=36

§刹车距离与二次函数

学习重点:

二次函数y=ax2、y=ax2＋c的图象和性质，因为它们的图象和性质是研究二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质的基础．我们在学习时结合图象分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小值）、函数的增减性几个方面记忆分析．

一、复习：

二次函数y=x2与y=-x2的性质：

抛物线

y=x2

y=-x2

对称轴

顶点坐标

开口方向

位置

增减性

最值

二、问题引入：

你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗

刹车距离与什么因素有关

有研究表明:

汽车在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）汽车的刹车距离s（m）可以由公式：

晴天时：

；雨天时：

，请分别画出这两个函数的图像：

三、动手操作、探究：

1.在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象。

2.在同一平面内画出函数y=3x2与y=3x2-1的图象。

比较它们的性质，你可以得到什么结论

四、例题：

【例1】已知抛物线y=（m＋1）x开口向下，求m的值．

【例2】k为何值时，y=（k＋2）x是关于x的二次函数

【例3】在同一坐标系中，作出函数①y=－3x2，②y=3x2，③y=x2，④y=－x2的图象，并根据图象回答问题：

（1）当x=2时，y=x2比y=3x2大（或小）多少

（2）当x=－2时，y=－x2比y=－3x2大（或小）多少

【例4】已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．

（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；

（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

【例5】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．

（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；

（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

五、课后练习

1．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x=时，y有最值，y=．

2．当m=时，y=（m－1）x－3m