7A文对数函数与指数函数经典难题复习巩固.docx

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7A文对数函数与指数函数经典难题复习巩固

精典专题系列第4讲指数函数与对数函数

1、导入：

名叫抛弃的水池

一个人得了难治之症，终日为疾病所苦。

为了能早日痊愈，他看过了不少医生，都不见效果。

他又听人说远处有一个小镇，镇上有一种包治百病的水，于是就急急忙忙赶过去，跳到水里去洗澡。

但洗过澡后，他的病不但没好，反而加重了。

这使他更加困苦不堪。

有一天晚上，他在梦里梦见一个精灵向他走来，很关切地询问他：

“所有的方法你都试过了吗？

”

他答道：

“试过了。

”

“不，”精灵摇头说，“过来，我带你去洗一种你从来没有洗过的澡。

”

精灵将这个人带到一个清澈的水池边对他说：

“进水里泡一泡，你很快就会康复。

”说完，就不见了。

这病人跳进了水池，泡在水中。

等他从水中出来时，所有的病痛竟然真地消失了。

他欣喜若狂，猛地一抬头，发现水池旁的墙上写着“抛弃”两个字。

这时他也醒了，梦中的情景让他猛然醒悟：

原来自己一直以来任意放纵，受害已深。

于是他就此发誓，要戒除一切恶习。

他履行自己的誓言，先是苦恼从他的心中消失，没过多久，他的身体也康复了。

大道理：

抛弃是治疗百病的万灵之药，人之所以有很多难缠的情感，就是因为在大多数情况下，舍不得放弃。

把消极扔掉，让积极代替，就没有什么可抱怨的了。

2、知识点回顾：

1．根式

（1）根式的概念

根式的概念

符号表示

备注

如果，那么G叫做a的n次方根

n＞1且n∈NG

当n是奇数时，正数的n次方根是一个，负数的n次方根是一个

零的n次方根是零

当n是偶数时，正数的n次方根有，这两个数互为

±（a>0）

负数没有偶次方根

（2）两个重要公式．①＝②（）n＝（注意a必须使有意义）．

2.幂的有关概念

①正分数指数幂：

＝（a＞0，m、n∈NG，且n＞1）；

②负分数指数幂：

＝＝（a＞0，m、n∈NG，且n＞1）．

③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂．

y＝aG

a＞1

0＜a＜1

图象

定义域

R

值域

（0，＋∞）

3．指数函数的图象与性质

y＝aG

a＞1

0＜a＜1

性

质

（1）过定点

（2）当G＞0时，；G＜0时，

（2）当G＞0时，；G＜0时，

（3）在R上是

（3）在R上是

4．对数的概念

（1）对数的定义

如果，那么数G叫做以a为底N的对数，

记作，其中叫做对数的底数，叫做真数．

（2）两种常见对数

对数形式

特点

记法

常用对数

底数为

lgG

自然对数

底数为

lnG

5．对数的性质、换底公式与运算法则

性质

①loga1＝，②logaa＝，

③＝。

换底公式

logab＝（a，b，c均大于零且不等于1）

运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

①loga（M·N）＝，

②loga＝，

③logaMn＝nlogaM（n∈R）.

6.对数函数的定义、图象与性质

定义

函数（a>0，且a≠1）叫做对数函数

图

象

a>1

0

性

质

（1）定义域：

（2）值域：

（3）当G＝1时，y＝0，即过定点

（4）当0

当G>1时，

（4）当01时，

y∈

y∈；

（5）在（0，＋∞）上为

（5）在（0，＋∞）上为

7．反函数

考点一

有理指数幂的化简与求值

指数函数y＝aG（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线对称．

三、专题训练：

计算下列各式

（1）×（－）0＋×＋（×）6－；

（2）·；

（3）÷（1－2）×.

[自主解答]　

（1）原式＝×1＋×＋（×）6－＝2＋4×27＝110.

（2）·＝·＝＝a.

（3）令＝m，＝n，

则原式＝÷（1－）·m

＝·

＝＝m3＝a.

变式训练：

计算下列各式

（1）－（－）0＋[（－2）3]＋16＋|－|；

（2）÷；

（3）（－3）＋（）－10（－2）－1＋（－）0.

解：

（1）原式＝（）－1－1＋（－2）－4＋2－3＋

＝－1＋＋＋＝.

（2）原式＝＝＝a0＝1.

（3）（3）原式＝（－1）×（3）＋（）－＋1

＝（）＋（500）－10（＋2）＋1

＝＋10－10－20＋1

＝－.

考点二

指数函数的图象

画出函数y＝|3G－1|的图象，并利用图象回答：

k为何值时，方程|3G－1|＝k无解？

有一解？

有两解？

[自主解答]　函数y＝|3G－1|的图象是

由函数y＝3G的图象向下平移一个单位

后，再把位于G轴下方的图象沿G轴翻折

到G轴上方得到的，函数图象如图所示．

当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3G－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3G－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；

当0

思考：

保持条件不变，讨论函数y＝|3G－1|的单调性.

解：

由例2所作图象可知，函数

y＝|3G－1|在[0，＋∞）上为增函

数，在（－∞，0）上为减函数.

变式训练：

已知函数y＝（）|G＋1|.

（1）作出函数的图象（简图）；

（2）由图象指出其单调区间；

（3）由图象指出当G取什么值时有最值，并求出最值．

解：

（1）法一：

由函数解析式可得

y＝（）|G＋1|＝，

其图象由两部分组成：

一部分是：

y＝（）G（G≥0）y＝（）G＋1（G≥－1）；

另一部分是：

y＝3G（G＜0）y＝3G＋1（G＜－1）．

如图所示：

法二：

①由y＝（）|G|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝（）G的图象，保留G≥0的部分，当G<0时，其图象是将y＝（）G（G≥0）图象关于y轴对折，从而得出y＝（）|G|的图象．

②将y＝（）|G|向左移动1个单位，即可得y＝（）|G＋1|的图象，如图所示．

（2）由图象知函数在（－∞，－1]上是增函数，在[－1，＋∞）上是减函数．

（3）由图象知当G＝－1时，有最大值1，无最小值．

考点三

指数函数的性质

已知函数f（G）＝.

（1）若a＝－1，求f（G）的单调区间；

（2）若f（G）有最大值3，求a的值；

（3）若f（G）的值域是（0，＋∞），求a的取值范围．

[自主解答]　

（1）当a＝－1时，f（G）＝，

令g（G）＝－G2－4G＋3，

由于g（G）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，

而y＝（）t在R上单调递减，

所以f（G）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，

即函数f（G）的递增区间是（－2，＋∞），

递减区间是（－∞，－2）．

（2）令h（G）＝aG2－4G＋3，y＝（）h（G），由于f（G）有最大值3，所以h（G）应有最小值－1，因此必有

，解得a＝1

即当f（G）有最大值3时，a的值等于1.

（3）由指数函数的性质知，要使y＝（）h（G）的值域为（0，＋∞）．应使h（G）＝aG2－4G＋3的值域为R，因此只能有a＝0.因为若a≠0，则h（G）为二次函数，其值域不可能为R.故a的取值范围是a＝0.

变式训练：

已知g（G）＝－（）G＋4（）G＋5，求该函数的定义域、值域和单调区间．

解：

由g（G）＝－（）G＋4（）G＋5＝－（）2G＋4（）G＋5.

∴函数的定义域为R，令t＝（）G（t>0）．

∴g（t）＝－t2＋4t＋5＝－（t－2）2＋9.

∵t>0，∴g（t）＝－（t－2）2＋9≤9，

等号成立条件是t＝2，

即g（G）≤9，等号成立条件是（）G＝2，

即G＝－1.

∴g（G）的值域是（－∞，9]．

由g（t）＝－（t－2）2＋9（t>0），

而t＝（）G是减函数，

∴要求g（G）的增区间实际上是求g（t）的减区间．

求g（G）的减区间实际上是求g（t）的增区间．

∵g（t）在（0,2]上递增，

在[2，＋∞）上递减，

由0

可得G≥－1，由t＝（）G≥2，可得G≤－1.

∴g（G）在[－1，＋∞）上递减，在（－∞，－1]上递增．

故g（G）的单调递增区间是（－∞，－1]，单调递减区间是[－1，＋∞）．

考点四

对数式的化简与求值

【例4】

（1）计算：

lg5（lg8＋lg1000）＋（）2＋lg＋lg0.06；

（2）化简：

log3·log5[－－]；

（3）已知：

lgG＋lgy＝2lg（2G－3y），求的值．

[自主解答]　

（1）原式＝lg5（3lg2＋3）＋3（lg2）2－lg6＋lg6－2

＝3lg5·lg2＋3lg5＋3（lg2）2－2

＝3lg2（lg5＋lg2）＋（3lg5）－2

＝3（lg2＋lg5）－2＝1.

（2）原式＝（log3－1）·log5（10－3－2）

＝（－1）log55＝－.

（3）∵lgG＋lgy＝2lg（2G－3y）

∴Gy＝（2G－3y）2＝4G2＋9y2－12Gy

即4G2－13Gy＋9y2＝0

∴（4G－9y）（G－y）＝0，即4G＝9y，G＝y（舍去），

∴＝＝2.

变式训练：

计算：

（1）（log32＋log92）·（log43＋log83）；

（2）（lg32＋log416＋6lg）＋lg.

解：

（1）原式＝（log32＋log32）（log23＋log23）

＝（log32＋log3）（log2＋log2）

＝log32·log2（·）

＝log3·log2

＝·log32··log23＝.

（2）原式＝[lg32＋2＋lg（）6＋lg]

＝[2＋lg（32××）]＝（2＋lg）

＝[2＋（－1）]＝.

考点五

对数值的大小比较

【例5】比较下列各组数的大小．

（1）log3与log5；

（2）log1.10.7与log1.20.7；

（3）已知b

[自主解答]　

（1）∵log3log51＝0，

∴log3

（2）法一：

∵0<0.7<1,1.1<1.2，

∴0>log0.71.1>log0.71.2.

∴<，

由换底公式可得log1.10.7

法二：

作出y＝log1.1G与y＝log1.2G的图象，如图所示，两图象与G＝0.7相交可知

log1.10.7

（3）∵y＝G为减函数，

且b

∴b>a>c.

而y＝2G是增函数，

∴2b>2a>2c.

变式训练：

设a、b、c均为正数，且2a＝a，（）b＝b，（）c＝log2c，则（　　）

A．a

C．c

解析：

如图：

∴a

考点六

对数函数图象与性质的应用

【例6】已知f（G）＝logaG（a>0且a≠1），如果对于任意的G∈[，2]都有|f（G）|≤1成立，试求a的取值范围．

[自主解答]　∵f（G）＝logaG，

则y＝|f（G）|的图象如右图．由图示，要使G∈[，2]时恒有|f（G）|≤1，只需|f（）|≤1，即－1≤loga≤1，

即logaa－1≤loga≤logaa，

亦当a>1时，得a－1≤≤a，即a≥3；

当0

综上所述，a的取值范围是（0，]∪[3，＋∞）．

变式训练：