高中数学抛物线的一个重要模型模型解题法.docx
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高中数学抛物线的一个重要模型模型解题法
【模型解题法】高中数学抛物线焦点弦模型
【模型思考】过抛物线焦点的直线，交抛物线于两点，则称线段为抛物线的焦点弦。
过抛物线的焦点弦的端点
分别抛物线准线的垂线，交于，
构成直角梯形（图1）.这个图形是抛物线
问题中极为重要的一个模型，围绕它可以生出许
多重要的问题，抓住并用好这个模型，可以帮助
我们学好抛物线的基本知识与基本方法，同时，
它又体现了解析几何的重要思想方法。
在图1中，
有哪些重要的几何量可以算出来？
又可以获得哪
些重要结论呢?
【模型示例】设直线的倾角为，当时，称弦为通径。
例1.求通径长.
例2．求焦点弦长.
例3.求的面积.
例4.连.
例5.设准线与轴交于点，求证：
是与的比例中项，
即.
例6.如图3，直线交准线于，求证：
直线轴.（多种课本中的题目）
例7．设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.
例8.证明：
梯形中位线MN长为.
例9.连.
例10.求证：
以线段为直径的圆与准线相切.
例11.连NF，证明：
NF⊥AB，且.
例12.已知抛物线的焦点为F，是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：
点在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：
·为定值；
【模型解析】
设直线的倾角为，当时，称弦为通径。
例1求通径长.
解：
由于，，
当时，代入中，得
.
例2求焦点弦长.
解法一：
设，当
由得，......①
.......②
，准线方程，
.
由②知，......③
当，由
（一）知.
说明：
因此，由③得
特别，当是通径长。
解法二：
设.
.
由得
......④
......⑤
（由④得）
......⑥
.
【重要说明】
（Ⅰ）关于直线方程的设定，上面用了两种形式，各有优劣。
对于抛物线，多用，对于抛物线，多用
（Ⅱ）上面的解法体现了解决抛物线问题乃至解析几何问题的基本思想方法，要多多玩味。
其中的多步变形，要熟练掌握，其结果可以作为公式使用。
（Ⅲ）如果给出，其焦点弦长的求法类似上面的解法，但要特别的注意，为直线的夹角。
总之，抛物线焦点弦长结论中，为直线的夹角。
此外，上述两种解法中，还得出了两个重要结论：
与均为定值：
（由①得），，以及
【探究】抛物线的焦点弦为，设，则有，此命题的逆命题是否成立？
为什么？
例3求的面积.
解法一：
直线的方程为：
，即.
（由⑥得）,
解法二：
（由④得）
（由⑥得）
例4连.
D
O
E
y
A
F
B
C
x
证明：
设，
则,
图2
故.
例5设准线与轴交于点，证明：
是与的比例中项，
即.
容易证明，留给读者完成。
例6如图3，直线交准线于，证明：
直线轴.（多种课本中的题目）
分析：
只要证两点纵坐标相同。
证明：
设，则.
图3
它与准线方程联立,得
.
由得.
因此两点纵坐标相同，轴.
例7设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明：
直线经过原点.
分析：
只要证.
证法1：
如图3，设，
再设直线的方程为.
，，
三点共线.
证法2：
如图4，设与相交于，准线与轴交于.
轴.
（即），
（即）.
又
即点是的中点，与抛物线的顶点重合，所以直线经过原点.
【专家点评】20XX年试题评价报告（高考专家组）指出：
理科（19）题（即上题）是课本习题八第8题（系指），第13题（系指（六））的转化，揭示了抛物线的一个本质属性：
“若抛物线的焦点为，是抛物线上的两点.点在它的准线上，且轴.则三点共线的充要条件是共线。
【探究】
上面的课本题与高考题共有三个条件与一个结论（对于抛物线及图3）：
弦过焦点；点在准线上；
轴；过顶点.
可组成以下四个命题：
图3
（高考题）
（课本题）
是否正确？
例8证明：
梯形中位线MN长为.
留给读者做。
例9连.
证明较难，留作习题。
例10证明：
以线段为直径的圆与准线相切。
由例9，这个性质是显然成立的。
例11连NF，证明：
NF⊥AB，且.
图5
证明：
设，
又设直线的方程为，则，
（由④得）
此即
在为斜边上的高，故有
说明：
在平面几何中，有下述定理：
斜边上的高是的比例中项。
例12已知抛物线的焦点为F，是抛物线的焦点弦，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.
（I）证明：
点在抛物线的准线上；
（Ⅱ）求证：
·为定值；
证明：
（I）设，
则由已知，
设直线的方程为：
，则由
得
由得，所以过两点的切线方程分别为：
即
【注：
过点（的切线方程为：
】
由上式可得
显然故
因此，.
由于抛物线准线方程为，故点在抛物线的准线上。
因此，·为定值，其值为0.
【推广】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，过A、B两点的切线交于点M，则点M在抛物线的准线上，且
【小结】由抛物线的焦点弦所构成的直角梯形中蕴涵着丰富多彩的内容，可以获得多达十多条的重要结论，它涉及抛物线的定义与基本性质，在解决各类问题时，又贯穿着解析几何的基本思想方法，其中尤以求抛物线弦长时的两种方法集中体现了解决抛物线问题的基本思路与常用方法，应予以牢固把握。
图7
上面十多条结果归纳起来有：
（1）焦点弦长（通径长）；
（2）的面积；
（3）梯形中位线长；
（4）；
（5）；
（6）两组直角三角形：
以及相应的比例线段；
（7）为直径的圆与准线相切；
（8）过抛物线上两点的切线的交点落在准线上，且
习题
1.（高考题）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A、B两点，若AB的长为8，则p=.
分析：
由例2知，由已知4p=8,故p=2.
2.抛物线线的焦点为F,其焦点弦为AB,直线AB与y轴的夹角为，则=.
分析：
仿例2可得：
=.
3.已知直线与抛物线交于M、N两点，O为坐标原点，求弦MN的长及的面积。
解：
在直线上，MN为焦点弦，且倾角为，故.
4.（高考题）过抛物线焦点F作一直线交抛物线于两点，若线段PF与QF的长分别为p，q，则等于
解1（解析法）：
较繁，略。
解2（向量法）：
设，由及定义可知：
因为F分的定比为故
因此选C.
解3：
取特例，PQ为通径，即则
所以选C.
5.直线AB交抛物线于A、B两点，作轴交抛物线准线于C,且A、O、C共线，证明：
直线AB过抛物线的焦点F。
证明：
设，AB与x轴交于点
故直线AB的方程为代入中，得
故......①
直线AO的方程为它与准线方程联立得
又轴，故于是即.由①知
即点E与F重合，直线AB过抛物线的焦点F。
6.已知抛物线的焦点为F，AB为焦点弦，过A、B分别作抛物线准线的垂线，交准线于D、C两点，线段CD的中点为N，求证
解1（解析法略）.
解2（几何法）：
作
在中，有
即
即.
由N为CD中点，有,
在.
=
满足勾股定理，即
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