初中数学竞赛重要定理及结论最新版最完整版.docx

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初中数学竞赛重要定理及结论最新版最完整版

初中数学竞赛重要定理、公式及结论陈氏版

平面几何篇

【三角形面积公式（包括海伦公式）】

，其中表示边上的高，为外接圆半径，为内切圆半径，

【斯特瓦尔特（Stewart）定理】设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．

【托勒密（Ptolemy）定理】圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，（逆命题成立）．（广义托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

【蝴蝶定理】AB是⊙O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，则MP=QM．

【勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）】

（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．　

（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

【中线定理（巴布斯定理）】设△ABC的边BC的中点为P，则有；

中线长：

．

【垂线定理】

高线长：

【角平分线定理】三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如△ABC中，AD平分∠BAC，则；（外角平分线定理）．

角平分线长：

（其中为周长一半）．

【正弦定理】，（其中为三角形外接圆半径）．

【余弦定理】

【张角定理】

【圆周角定理】同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．

【弦切角定理】弦切角等于夹弧所对的圆周角．

【圆幂定理】（相交弦定理：

垂径定理：

切割线定理（割线定理）：

切线长定理：

）

【射影定理（欧几里得定理）】直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

【梅涅劳斯（Menelaus）定理】设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有．（逆定理也成立）

梅涅劳斯定理的应用定理1：

设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．

梅涅劳斯定理的应用定理2：

过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．

【塞瓦（Ceva）定理】设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是··=1．

塞瓦定理的应用定理：

设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．

塞瓦定理的逆定理的应用定理1：

三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．

塞瓦定理的逆定理的应用定理2：

设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．　

【西摩松（Simson）定理】从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simsonline）．

【燕尾定理】

两个有公共边的三角形和，与交于点，则三角形的面积与三角形的面积之比等于与的比。

（定理描述对下图所示四种图形都成立）

【重心】定义：

重心是三角形三边中线的交点，

重心的性质：

（1）设G为△ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则；

（2）设G为△ABC的重心，则；

（3）设G为△ABC的重心，过G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，过G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，过G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，则；

（4）设G为△ABC的重心，则

①；

②；

③（P为△ABC内任意一点）；

④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即最小；

⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为△ABC的重心）．

（5）、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为

【外心】三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等；

外心性质：

（1）外心到三角形各顶点距离相等；

（2）设O为△ABC的外心，则或；

（3）；

（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和．

【垂心】定义：

三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。

垂心性质：

（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；

（2）垂心H关于△ABC的三边的对称点，均在△ABC的外接圆上；

（3）△ABC的垂心为H，则△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆；

（4）设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则．

【内心】三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；

内心性质：

（1）设I为△ABC的内心，则I到△ABC三边的距离相等，反之亦然；

（2）设I为△ABC的内心，则；

（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若平分线交△ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为△ABC的内心；

（4）设I为△ABC的内心，平分线交BC于D，交△ABC外接圆于点K，则；

（5）设I为△ABC的内心，I在上的射影分别为，内切圆半径为，令，则①；②；③．

【旁心】一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；

设△ABC的三边令，分别与外侧相切的旁切圆圆心记为，其半径分别记为．

旁心性质：

（1）（对于顶角B，C也有类似的式子）；

（2）；

（3）设的连线交△ABC的外接圆于D，则（对于有同样的结论）；

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圆半径等于△ABC的直径为2R．

【九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）】三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:

（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;

（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;

（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．

【欧拉线】

定义：

三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

欧拉线定理：

三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线。

欧拉线的性质：

1、在任意三角形中，以上四点共线。

锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和

2、欧拉线上的四点中，九点圆圆心到垂心和外心的距离相等，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

3、欧拉（Euler）公式：

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d2=R2－2Rr．

【费马点】

定义：

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

费马点的判定

（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

费马点性质：

（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。

（2）.特殊三角形中，三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.　　

（3）.特殊三角形中，若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是费马点　　

（4）特殊三角形中，当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合

【四点共圆基本证明方法】证明四点共圆有下述一些基本方法：

方法1：

从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．

方法2：

把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等（同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

）

方法3：

把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．

方法4：

把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）

方法5：

证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．

代数篇

【乘法公式】

完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2,

平方差公式：

（a+b）（a－b）=a2－b2

立方和（差）公式：

（a±b）（a2ab+b2）=a3±b3

多项式平方公式：

（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

二项式定理：

（a±b）3=a3±3a2b+3ab2±b3

（a±b）4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）

…………

在正整数指数的条件下，可归纳如下：

设n为正整数

（a+b）（a2n-1－a2n-2b+a2n-3b2－…＋ab2n-2－b2n-1）=a2n－b2n

（a+b）（a2n－a2n-1b+a2n-2b2－…－ab2n-1+b2n）=a2n+1+b2n+1

类似地：

（a－b）（an-1+an-2b+an-3b2+…＋abn-2+bn-1）=an－bn　

公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=（a+b）2－2ab

由（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab（a+b）得a3+b3=（a+b）3－3ab（a+b）

由公式的推广③可知：

当n为正整数时

an－bn能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

重要公式（欧拉公式）：

【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。

当被除式除以除式得商式及余式时，就有下列等式：

其中的次数小于的次数，或者。

当时，就是能被整除。

【余式定理】多项式除以所得的余数等于。

【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等

【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。

分式运算的技巧还有：

换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。

【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

小于100的素数有如下25个：

2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97．

性质1一个大于1的正整数n，它的大于1的最小因数一定是质数．

性质2如果n是合数，那么n的最小质因数a一定满足a2≤n．

性质3质数有无穷多个．

性质4（算术基本定理）每一个大于1