线面垂直的定义(上课用)优质PPT.pptx

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除定义外，如何判断一条直线与平面垂直呢？

能不能把线面垂直问题转化为线线垂直问题？

线面平行的判定：

空间问题空间问题平面问平面问题题线线平行线线平行线面平行线面平行llaa图图1图图2先试一条先试一条allbab图图1图图2再试两条平行直线再试两条平行直线那么两条相交直线呢？

那么两条相交直线呢？

直线与平面垂直直线与平面垂直如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：

过过的顶点的顶点A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕AD，将翻折，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（后的纸片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）与桌面接触）当且仅当折痕当且仅当折痕AD是是BC边上的高时，边上的高时，AD所在直所在直线与桌面所在平面线与桌面所在平面垂直垂直探究探究3.直线与平面垂直的判定定理：

直线与平面垂直的判定定理：

即：

如果直线如果直线和平面和平面内的内的两条相交两条相交直线直线m,nm,n都垂直，那么直线都垂直，那么直线垂直平面垂直平面。

mnPa例例1.如图，已知如图，已知，求证，求证根据直线与平面垂直的定义知根据直线与平面垂直的定义知又因为又因为所以所以又又是两条相交直线，是两条相交直线，所以所以证明：

在平面证明：

在平面内作内作两条相交直线两条相交直线m，n因为直线因为直线,A练习题练习题VVAABBCC.Dzxxkzxxk练习：

如图，点练习：

如图，点PPPP是平行四边形是平行四边形是平行四边形是平行四边形ABCDABCDABCDABCD所在平面外一点，所在平面外一点，所在平面外一点，所在平面外一点，OOOO是对角是对角是对角是对角线线线线ACACACAC与与与与BDBDBDBD的交点，且的交点，且的交点，且的交点，且PAPAPAPA=PCPBPCPBPCPBPCPB=PD.PD.PD.PD.求证：

求证：

POPOPOPO平面平面平面平面ABCDABCDABCDABCDCABDOP=ABCDPOOBDAC平面又IQBDPOBDOPDPB的中点是点又=Q,ACPOACOPCPA的中点是点证明=Q,讨论：

四面体讨论：

四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影在平面上的射影O1）P到三顶点距离相等到三顶点距离相等0是是ABC的外心的外心3）P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等0是是ABC的内心或旁心的内心或旁心2）对棱相互垂直对棱相互垂直0是是ABC的垂心的垂心PA、PB、PC两两垂直两两垂直例例2在正方体在正方体ABCD-ABCD中，中，O为底为底面面ABCD的中心，的中心，BHDO，H是垂足，是垂足，求证：

BH平面平面ADC；

O探讨：

例举正方体中的线面垂直的关系。

探讨：

正方体中的棱、面对角线、体对角线与面的垂直关系正方体中的棱、面对角线、体对角线与面的垂直关系PABCO练习：

如图，圆练习：

如图，圆O所在一平面为所在一平面为，AB是圆是圆O的直径，的直径，C是圆周上一点是圆周上一点,且且PAAC,PAAB,求证：

（求证：

（1）PABC

（2）BC平面平面PAC思考：

此图能补成正方体吗？

思考：

练习：

图中有几个直角三角形图中有几个直角三角形?

变式2：

ABCD证明：

E练习：

在空间四边形在空间四边形ABCD中，中，AB=AD，CB=CD，求证：

对角线求证：

对角线ACBD。

CEAEEBD,连接的中点取ACBDACEAC,平面Q=ACEBDECEAE,平面又QBDCEDCBC=,QBDAEADAB=,Q1.如图，直四棱柱如图，直四棱柱（侧棱与底面垂直的（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形棱柱称为直棱柱）中，底面四边形满足什么条件满足什么条件时时？

底面四边形底面四边形对角线对角线相互垂直相互垂直四四.知识小结：

知识小结：

直线与平面直线与平面垂直的判定垂直的判定定义法定义法间接法间接法直接法直接法如果两条如果两条平行直线中的平行直线中的一条垂直于一一条垂直于一个平面，那么个平面，那么另一条也垂直另一条也垂直于同一个平面。

于同一个平面。

如果一条直线垂于一个如果一条直线垂于一个平面内的任何一条直线平面内的任何一条直线此直线垂直于这个平面此直线垂直于这个平面判定定理判定定理如果一条直如果一条直线垂直于一个平线垂直于一个平面内的面内的两条相交两条相交直线，那么此直直线，那么此直线垂直于这个平线垂直于这个平面。

面。

（1）

（2）数学思想方法：

转化的思想数学思想方法：

转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题

（1）如果直线）如果直线l与平面与平面内的任意一条直线都垂直，内的任意一条直线都垂直，我们说我们说直线直线l与平面与平面互相垂直互相垂直，记作记作平面平面的垂线的垂线直线直线l的垂面的垂面垂足垂足知识回顾知识回顾二二.直线与平面垂直的判定定理：

如果直线如果直线和平面和平面内的两条内的两条相交直线相交直线m,nm,n都垂直，那么直线都垂直，那么直线垂直平面垂直平面。

mnPaA若若则则练一练：

练一练：

（1）如图，在正方形如图，在正方形SG1G2G3中，中，E,F分别是边分别是边G1G2,G2G3,的中点，的中点，D是是EF的中点，现沿的中点，现沿SE,SF,及及EF把这个正方把这个正方形折成一个几何体，使形折成一个几何体，使G1,G2,G3三点重合于点三点重合于点G，这样下面，这样下面结论成立的是结论成立的是（）A.SG面面EFGB.SD面面EFGC.GF面面SEFD.GD面面SEFG1EG2FGFEG3S一条直线和一个平面一条直线和一个平面相交相交，但，但不和这个平面不和这个平面垂直垂直，这条直线，这条直线叫做这个平面的叫做这个平面的斜线斜线斜线斜线，斜线和，斜线和平面的交点叫做平面的交点叫做斜足斜足斜足斜足。

BC过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影斜线在这个平面上的射影；

三、直线与平面所成的角三、直线与平面所成的角斜线斜线C垂线垂线垂足垂足斜斜足足A平面的一条斜线和平面的一条斜线和它在平面上的射影所成它在平面上的射影所成的锐角，叫做的锐角，叫做这条直线这条直线这条直线这条直线和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角和这个平面所成的角。

一条直线垂直与平面，它们条直线垂直与平面，它们所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角所成的角是直角；

一条直线和平面平行，或在平面内，它们一条直线和平面平行，或在平面内，它们所所所所成的角是成的角是成的角是成的角是00的角的角的角的角。

直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是0，90。

斜线与平面所成的角斜线与平面所成的角（0,90）（0,90）三线角定理，二线角平分定理三线角定理，二线角平分定理AA11BB11CC11DD11AABBCCDD例例11、如图，正方体、如图，正方体ABCD-AABCD-A11BB11CC11DD11中，求中，求（11）直线）直线AA11BB和平面和平面BCCBCC11BB11所成的角。

所成的角。

（22）直线）直线AA11BB和平面和平面AA11BB11CDCD所成的角。

O阅读教科书阅读教科书P67上的解答过程上的解答过程1.如图：

正方体如图：

正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:

（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影

（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB巩固练习巩固练习1.如图：

（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影

（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBO线段线段B1O巩固练习巩固练习1.如图：

（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影

（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCBE线段线段B1E巩固练习巩固练习1.如图：

（1）AB1在面在面BB1D1D中的射影中的射影

（2）AB1在面在面A1B1CD中的射影中的射影（3）AB1在面在面CDD1C1中的射影中的射影A1D1C1B1ADCB线段线段C1D巩固练习巩固练习例例2，如图，在四棱锥，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点的中点

（1）证明：

）证明：

PA/面面EDB

（2）求）求EB与底面与底面ABCD所成角的正切值所成角的正切值PDCABE练习：

在三棱锥练习：

在三棱锥P-ABC中中，PA=PB=PC=13,（33）求）求PBPB与平面与平面PACPAC所成角的余弦值所成角的余弦值（44）求）求ACAC与平面与平面PABPAB所成角的余弦值所成角的余弦值练习：

已知练习：

已知SARTABC所在平面，所在平面，BCAC，ABC=30，AC=1，SB=23，求，求SC与面与面SAB所所成角的正弦值。

成角的正弦值。

归纳小结归纳小结11直线与平面垂直的概念直线与平面垂直的概念（11）利用定义；

）利用定义；

（22）利用判定定理）利用判定定理33数学思想方法：

转化的思想空间问题空间问题平面问题平面问题33直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直垂直于平面内任意一条直线垂直于平面内任意一条直线2.2.线面角的概念及范围线面角的概念及范围例例22：

如图，：

如图，ABAB是是OO的直径，的直径，CC是圆周上不同是圆周上不同于于AA，BB的任意一点，平面的任意一点，平面PACPAC平面平面ABCABC，BOPAC

（2）

（2）判断平面判断平面PBCPBC与平面与平面PACPAC的位置关系。

的位置关系。

（1）

（1）判断判断BCBC与平面与平面PACPAC的位置关系，并证明。

的位置关系，并证明。

（1）证明：

证明：

AB是是O的直径，的直径，C是圆周上不同于是圆周上不同于A，B的任的任意一点意一点ACB=90BCAC又又平面平面PAC平面平面ABC，平，平面面PAC平面平面ABCAC,BC平面平面ABCBC平面平面PAC

（2）又又BC平面平面PBC，平面平面PBC平面平面PAC练习练习22：

如图，已知如图，已知PAPA平面平面ABCABC，平面平面PABPAB平面平面PBCPBC，求证：

，求证：

BCBC平面平面PABPABPABCE证明：

过点