一元二次方程根的判别式和根与系数的关系练习题.doc

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一元二次方程根的判别式和根与系数的关系练习题

关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），△=b2-4ac是方程的判别式。

当b2-4ac≥0时，方程有实数根；当b2-4ac<0时，方程没有实数根。

当b2-4ac＞0时，方程有两不相等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两相等的实数根。

x1和x2关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，那么x1+x2=-b/a，x1●x2=c/a。

而且有以下关系式：

1/x1+1/x2=-b/c；x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2；（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2；ax12+bx1+c=0；ax22+bx2+c=0。

以x1和x2为根的一元二次方程是a（x-x1）（x-x2）=0或x2-（x1+x2）x+x1x2=0。

解答一元二次方程的这部分题要注意

（1）a≠0和a=0的区别；

（2）△=b2-4ac≥0和△=b2-4ac<0的区别。

练习题

一、1、若x=1时一元二次方程ax2+bx－2=0的根，则a+b=；

2、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是　　（只需写出一个方程）

3、三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）。

4、如果关于x的方程x2+4x+a=0有两个相等的实数根，那么a＝　　　　。

5、已知方程3x2-9x+m=0的一个根是1，则m的值是________。

6、一元二次方程x2+x－3=0的两个根为x1、x2，则x13-4x22+19的值是。

7、以-0.5和2为根的一元二次方程是。

8、方程ax2-4x+1=0有实数根，则a的取值范围是。

9、方程2x2+3x+5m=0的两个实数根都小于1，则m的取值范围是。

10、方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两个实数根的平方和为11，则k的值是。

二、解答题

1、x1、x2是方程2x2-3x-5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值：

（1）x12+x22

（2）∣x1-x2∣（3）x12+3x22-3x2

2、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝0的根。

求此三角形的周长。

3、已知x1、x2是方程x2－3x－5=0的两个实根，求x12+4x22－9x2的值。

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边C＝5，两直角边的长a，b是关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－2＝0的两根，

（1）求m的值

（2）求△ABC的面积。

5、已知方程2x2-4x-3＝0，求一个一元二次方程，使它的根是原方程各根的平方。

6、已知关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值。

7、说明不论m取何值，关于x的方程（x－1）（x－2）＝m2总有两个不相等的实根。

8、关于x的方程x2-（k+2）x+2k+1＝0的两个实数根为x1、x2,若x12+x22＝11，求实数k的值。

、9、已知关于x的方程x2－px＋q＝0的两个根是4和－3，求p和 q的值。

10、已知关于x的方程x2－2（m+1）x+m=0。

（1）当m取何值时，方程有两个实数根；

（2）为m选取一个合适的整数,使方程有两个不相等的实数根,并求出这两个实数根。

11、已知关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值。

12、已知关于x的方程x2－2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2,且（x1-x2）2=16，如果关于x的另一个方程x2－2mx+6m－9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。

13、已知关于x的方程x2－2mx+0.25n2=0。

m、n为等腰三角形的腰和底。

（1）求证无论m取何值时，方程总有两个不等实数根。

（2）当等腰三角形的面积是12，x1,x2是原方程的两个实数根，且∣x1-x2∣=8。

求三角形底边上的高和三角形各边的长。

14、x1,x2是方程4x2+4（m-1）x+m2=0的两个非零实数根。

问x1,x2能否同号？

若能同号，求出m的取值范围，若不能同号，说明理由。

15、a、b、c是△ABC的三边，且方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等的实数根，试判定△ABC的形状。

16、△ABC的两边AB、AC的长是关于x的方程x2－（2k＋3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5。

（1）当k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形。

（2）当k取何值时，△ABC等腰三角形，并求△ABC的周长。

17、m、n满足3m2-1234567890m+2=0；2n2-1234567890n+3=0；且mn≠1。

求n/m的值。

18、在直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（0A

（1）求点C的坐标；

（2）求直线AD的解析式；（3）P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?

若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

19、甲乙两同学解同一个一元二次方程，甲抄错了常数项得两根为-8和6；乙抄错了一次项系数得两根为-3和1。

求原来的一元二次方程。

20、关于x的方程x2+px+q=0的两个根为p和q，求p和q的值。

21、关于x的方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有实数根，求k的最小值。

22、已知关于x的方程k2x2+2x-1=0有两个不相等的实数根x1，x2；且满足（x1+x2）2=1，求k的值。

23、在△ABC中，∠BAC=450，BC=2，cosA和cosB关于x的方程4x2-2（m+1）x+m=0的两根。

求AB和AC的长。

24、关于x的方程a（1-x2）+2bx+c（1+x2）=0有两相等的实数根，其中a、b、c是△ABC的三边，且它们的对角满足关系式2sinB=sinA+sinC；a=6；求b和c。

25、在△ABC中，∠ACB=900，当m为何值时，关于x的方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0的两根是这个直角三角形两锐角的正弦？