一元二次方程全章讲义.doc

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一元二次方程专题讲义 编讲：

向老师

一元二次方程的概念与方程的解

【知识点】：

1、一元二次方程的概念：

方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

2、一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；

c是常数项．）

3、一元二次方程的解：

使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）．

【例题精讲】:

例1、下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是。

①k2x+5k+6=0；②x2－x－=0；③3x2+－2=0；

④3x2+2－2=0；⑤（3－x）2=－1；⑥（2x－1）2=（x－1）（4x+3）。

例2、若关于的方程是一元二次方程，求m的值。

例3、关于x的方程x（3x－3）－2x（x－1）－2=0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。

例4、关于x的一元二次方程（a－1）x2－x+a2－1=0的一根是0，则a的值为（）

A、1B、－1C、1或－1D、。

【夯实基础练】：

一）、填空题：

1、方程（x－4）2=3x+12的二次项系数是，一次项系数是，常数项是。

2、（11滨州）若x=2是关于x的方程的一个根，则a的值为______.

3、已知关于x的方程是一元二次方程，则m2=。

4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．

5、已知关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为1和－1，则a+b+c=，a－b+c=。

6、关于x的方程（k2－1）x2+2（k－1）x+2k+2=0，当k≠时，为一元二次方程；当k=时，为一元一次方程。

二）、选择题：

1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）

A、B、C、D、

2、方程化为一般形式后，a、b、c的值分别为（）

A、a=5，b=3，c=5B、a=5，b=－3，c=－5

C、a=7，b=，c=5D、a=8，b=6，c=1

三）、解答题：

1、已知关于x的方程（m2－1）x2+（m+1）x+1=0

（1）当m为何值时，此方程为一元二次方程？

（2）当m为何值时，此方程为一元一次方程？

2、关于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2－4=0有一根为0，求2m2－4m+3的值。

3、已知x=－2是方程x2－mx+2=0的一个根，试化简。

【能力提高练】：

1、试证明关于x的方程（m2－8m+17）x2+2m+1=0，不论m为何值，该方程都是一元二次方程。

2、已知x2+3x+1的值为5，则代数式2x2+6x－2的值为多少？

3、设是一个直角三角形两条直角边的长，且，求这个直角三角形的斜边长。

4、若的值是多少？

一元二次方程的解法

【知识点】：

1、理解解一元二次方程的“降次”思想，将一元二次方程“化成”两个一元一次方程．

2、直接开平方法：

如果方程能化成或的形式，那么直接开平方可得或．

3、配方法：

通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫作配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程。

4、公式法：

公式（）称为一元二次方程的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫公式法；

5、利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解法叫作因式分解法．

6、一元二次方程根的判别式：

b2-4ac叫根的判别式；

（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=．

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=．

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

【例题精讲】:

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）；

（2）

2、用配方法解下列方程：

（1）；

（2）．

3、用公式法解下列方程：

（1）5x2+2x-6=0

（2）4x2-7x+2=0（3）2x2-x-=0

4、用因式分解法解下列方程：

（1）；

（2）；

（3）；（4）．

5、已知y=2x2+7x－1，当x为何值时，y的值与4x+1的值相等？

x为何值时，y的值与x2－19的值互为相反数？

6、解方程。

7、若，，则x+y的值是多少？

【夯实基础练】：

一）、填空题

1、（2011镇江）已知关于x的方程的一个根为2,则m=_____,另一根是_______.

2、如果x2+mx+16是一个完全平方式，则m的值为。

3、当x=时，代数式x2+4x+6有最值是；【提示：

配方法】

4、方程3x2+2=x中，a=，b=，c=，b2－4ac=；

5、已知一元二次方程ax2+4x+2=0且b2－4ac=0，则a=，x=。

6、（2011上海）如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．

8、已知a≠0，a≠b，x=1是方程ax2+bx－10=0的一个解，则的值是。

二）、选择题：

1、解方程（x+5）2－3（x+5）=0，较简便的解法是（）

A、直接开平方法B、因式分解法C、配方法D、公式法

2、方程x2+2x－3=0的解是（）

A、x1=1，x2=3；B、x1=1，x2=－3；C、x1=－1，x2=3；D、x1=－1，x2=－3。

3、（2011兰州）用配方法解方程时，原方程应变形为（）

A． B． C． D．

4、，则的值是（）

A、－6B、－2C、2D、6

5、（2011安徽）一元二次方程x（x－2）=2－x的根是（）

A．－1 B．2 C．1和2 D．－1和2

6、下列是某同学在一次数学测验中解答的题目，其中答对的是（）

A、若x2=4，则x=2；B、若3x2=6x，则x=2；

C、若x2+x－k=0的一个根是1，则k=2；D、若分式的值为零，则x=2。

7、已知方程x2－6x+q=0可以配方成（x－p）2=7的形式，那么x2－6x+q=2可以配方成下列的（）

A、（x－p）2=5；B、（x－p）2=9；C、（x－p+2）2=9；D、（x－p+2）2=5。

8、关于x的方程k2x2+2（k－1）x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A、k＜B、k≤C、k＜且k≠0D、k≤且k≠0

三、解答题：

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）；　　

（2）；（3）；　　

2、用配方法解下列方程：

（1）；　　　　　　

（2）．（3）．

3、用公式法解方程

（1）x2+4x+2=0;         

（2）3x2-6x+1=0;  （3）4x2-16x+17=0;       

4、用因式分解法解下列方程：

（1）y2＋7y＋6＝0；

（2）t（2t－1）＝3（2t－1）；（3）（2x－1）（x－1）＝1．

【能力提高】

1、已知一元二次方程x2－4x+k=O有两个不相等的实数根。

（1）求k的取值范围；

（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x+k=0与x2+mx－1=0有一个相同的根，求此时m的值。

2、已知、、为三角形的三边,求证∶方程没有实数根。

3、已知9a2-4b2=0，求代数式的值．

一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系

【知识点】

1、一元二次方程的根的情况可由来判定，我们把叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“△”来表示。

当△>0时，有两个不相等实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根，当△<0时，没有实数根，反过来也成立。

2、如果的两个根是，那么

3、如果方程的两个根是，那么

4、以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

【例题选讲】

例1：

不解方程，判别下列方程的根的情况；

（1）；

（2）；（3）

例2：

已知关于x的方程，当k取什么值时，

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。

例3：

求证：

不论a为任何实数，方程总有实数根。

例4：

利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的

（1）平方和；

（2）倒数和。

例5：

（2010孝感）关于x的一元二次方程、

（1）求p的取值范围；

（2）若的值.

例6：

求一个一元二次方程，使它的两个根是4和5。

【拓展延伸】例7、设方程的大根为，方程的小根为，则_____________．

例8、若，且有及，则，．

【能力训练】：

1．（2011德州）若，是方程的两个根，则=__________．

2．（2011宜宾）已知一元二次方程的两根为a、b，则的值是____________．

3、设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋4m＋n＝．

4、（2013眉山）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为α、β，则（α+3）（β+3）=______

5、已知方程两根分别是0和－3，那么p+q＝。

6、（2013绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程，则△ABC的周长是。

7、（2013泸州）设是方程的两个实数根，则的值为（）

A.5B.-5C.1D.-1

8、（20