6年级奥数-不定方程.docx

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非淡泊无以明志，非宁静无以致远！

不定方程讲义

讲义编号LTJYsxsrl005

学员编号：

LTJY001年级：

六年级课时数：

学员姓名:

辅导科目：

数学学科教师：

学科组长签名及日期

教务长签名及日期

课题

一次不定方程（组）的整数解问题

授课时间：

备课时间：

教学目标

1.理解不定方程（组）的含义

2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法

重点、难点

重点：

不定方程定理的理解

难点：

解不定方程方法与技巧的灵活运用

考点及考试要求

不定方程（组）是数论中的一个重要课题

教学内容

【写在前面】

不定方程（组）是数论中的一个重要课题.对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决.

【本讲重点】

求一次不定方程（组）的整数解

【知识梳理】

不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.

重要定理：

设a、b、c、d为整数，则不定方程有：

定理1若且d不能整除c，则不定方程没有整数解；

定理2若是不定方程且的一组整数解（称为特解），则（t为整数）是方程的全部整数解（称为通解）.（其中,且d能整除c）.

定理3若是不定方程，的特解，则是方程的一个特解.（其中,且d能整除c）.

求整系数不定方程的正整数解，通常有以下步骤：

（1）判断有无整数解；

（2）求出一个特解；

（3）写出通解；

（4）有整数t同时要满足的条件（不等式组），代入命题

（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.

解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：

（1）分离整系数法；

（2）穷举法；（3）因式分解法；（4）配方法；

（5）整数的整除性；（6）奇偶分析；（7）不等式分析；（8）乘法公式.

【学法指导】

【例1】求下列不定方程的整数解

（1）；

（2）.

【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.

【解答】

（1）原方程变形为：

，观察得到是的一组整数解（特解），

根据定理2，是原方程的所有整数解.

（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，

∴根据定理1，原方程的无整数解.

【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解.求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.

【实践】求下列不定方程的整数解

（1）；

（2）.

【例2】求方程的所有正整数解.

【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y来表示x,再将含y的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y0，然后再求x0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.

【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.

由原方程可得，

由此可观察出一组特解为x0=25，y0=2.

∴方程的通解为.

其中∴∴∴

代入通解可得原方程的正整数解为

【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法.这样就容易找出一组整数解来.

【实践】求方程的正整数解.

【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.

【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.

【解答】设需要大客车x辆，小客车y辆，根据题意可列方程，即.

又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解.易知是一个特解，通解为

由题意可知解得相应地

答：

需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.

【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.

【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？

【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日.

【分析】本题的隐含条件是：

月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].

【解答】设此人生日的月份数为x,日期数y.根据题意可列方程31x+12y=347.

〈方法一〉〈方法二〉

特解：

答：

此人的生日为5月16日.

【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解.其中方法二是利用了同余的知识.

【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的，求一切这样三位数的和.

【例5】（新加坡数学竞赛题）设正整数m,n满足，则m的最大值为.

【分析】把m用含有n的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m的最大值.

【解答】∵，∴，

由题意可得，n≠8，∴，

∵m,n为正整数，∴当n=9时，m有最大值为75.

【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.

【实践】（北京市数学竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是.

【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：

鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？

【分析】分析：

用x,y,z来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：

如何解这个不定方程组？

消元转化为不定方程.

【解答】解：

设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.

（2）×3－

（1）得：

14x+8y=200，即7x+4y=100.

〈方法一〉

〈方法二〉

〈方法三〉

【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.

【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：

其中的鸡、鸭、鹅各多少只？

答案：

（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）

【例7】求方程的整数解.

【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.

【解答】设，则原方程可看作对于方程

（1）x=-t,y=t是一个特解，

从而

（1）的整数解是

又t=2,z=3是方程

（2）的一个特解，于是

（2）的整数解是

将（6）代入（3）、（4）消去t得到原方程的所有整数解为：

【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式.

【实践】求方程的整数解.

【例8】（海峡两岸友谊赛试题）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：

三个小组共有多少名同学？

【分析】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，由题意得.要求，可以运用放缩法从确定的取值范围入手.

【解答】设甲组同学a人，乙组同学b人，丙组同学c人，则.

∵，∴.

∵是整数，∴=12或13.但当=13时，得，无正整数解.

答：

三个小组共有12名同学.

【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.

【实践】Alicewantstobuysomeradios,pensandbags.Ifshebuys3radios,6pens,2bags,shewillpay¥302.Ifshebuys5radios,11pens,3bags,shewillpay¥508.Question:

HowmuchwillAlicepayfor1radio,1penand1bag?

【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.

（1）小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？

（2）若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？

【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第

（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数.

【解答】

（1）设小明摸的红球有x个，黄球有y个，蓝球有个，则，

整理，得，因为x、y均为正整数，可知x的最大值为4.即红球最多不超过4个.

（2）由

（1）知蓝球的个数是，

又∵∴

因此共有4种不同的摸法，如下：

（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.

【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.

【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？

并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.

【例10】设非负整数n，满足方程的非负整数（x,y,z）的组数记为.

（1）求的值；

（2）求的值.

【分析】审清题中的n与方程是同一个非负整数，的含义是方程的非负整数解的（x,y,z）的组数.

【解答】

（1）当n=3时，原方程为，由于

当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y）=（0,1）,（1,0）有2组；

当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y）=（0,3）,（1,2），（2,1）,（3,0）有4组.

综上，=6.

（2）当n=2001时，原方程为，由于

当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组；

当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y）=（0,5）,（1,4），（2,3）,（3,2），（4,1）,（5,0）有6组；…；

当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y）=（0,2001）,（1,2000），…，（2001,0）有2002组.

综上，=2+4+6+…+2002=1003002.

【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题.

【实践】一