商人过河数学模型Word下载.docx
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1.每个商人和随从都会划船；
2.只有一条船，且每条船上最多只能乘坐两个人；
3.所有商人与随从之间没有矛盾，不会出现两人不愿意坐一条船的现象；
4.船在渡河的过程中不受外界环境的影响。
4、模型的建立与求解
1.模型建立
~第k次渡河前此岸的商人数，~第k次渡河前此岸的随从数
=0,1,2,3;
k=1,2,……
=（,,ck）~过程的状态，其中,,ck分别表示对应时刻此岸的商人，仆人数以及船的行进方向，其中c取值1表示即将向彼岸运行，为0表示即将向此岸运行
S~允许状态集合，S={（x,y）|x=0,y=0,1,2,3;
x=3,y=0,1,2,3;
x=y=1,2}
~第k次渡船上的商人数
~第k次渡船上的随从数
=（,）~决策，D={（u,v）|,,=0,1,2}~允许决策集合
k=1,2,……
因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船从彼岸驶向此岸，所以状态随决策的变化规律是
=+~状态转移律
求∈D（k=1,2,…n）,使∈S,并按转移律由=（3,3,1）到达状态=（0,0,0
（1））。
2.模型求解
本模型使用MATLAB软件编程求解，运行结果如下
>
chouxiang
输入商人数目:
3
输入仆人数目:
输入船的最大容量:
2
ans=
00
11
01
03
02
22
31
30
32
33
Matlab程序
functionfoot=chouxiang
%程序开始需要知道商人数，仆人数，船的最大容量
sr=input（'
'
）;
pr=input（'
c=input（'
ifpr>
sr
end
%状态数组生成
zt=1;
%状态数组存放在矩阵“A”中,zt为插入新元素的行标初始为1
fori=sr:
-1:
forj=pr:
if（（i>
=j）&
（（sr-i）>
=（pr-j）））|（（i==0）|（i==sr））%（i>
=（pr-j）））|（（i==0）|（i==sr））为可以存在的状态的约束条件
A（zt,1:
3）=[i,j,1];
%表示此岸安全
A（zt+1,1:
3）=[i,j,0];
zt=zt+2;
end
j=pr;
end;
%决策生成
jc=1;
fori=0:
c
forj=0:
if（i+j<
=c）&
（i+j>
0）%满足条件D={（u,v）|1<
=u+v<
=c,u,v=0,1,2}
d（jc,1:
3）=[i,j1];
%表示从此岸到彼岸
d（jc+1,1:
3）=[-i,-j,-1];
%表示从彼岸到此岸
jc=jc+2;
j=0;
end
%将状态数组生成抽象矩阵
k=（1/2）*size（A,1）;
CX=zeros（2*k,2*k）;
a=size（d,1）;
fori=1:
2*k
forj=1:
a
c=A（i,:
）+d（j,:
）;
x=find（（A（:
1）==c
（1））&
（A（:
2）==c
（2））&
3）==c（3）））;
v（i,x）=1;
%x为空不会改变v的值
%dijstra方法
x=1;
y=size（A,1）;
m=size（v,1）;
T=zeros（m,1）;
T=T.^-1;
lmd=T;
P=T;
S=zeros（m,1）;
S（x）=1;
P（x）=0;
lmd（x）=0;
k=x;
while
（1）
a=find（S==0）;
aa=find（S==1）;
ifsize（aa,1）==m
break;
size（a,1）
pp=a（j,1）;
ifv（k,pp）~=0
ifT（pp）>
（P（k）+v（k,pp））
T（pp）=（P（k）+v（k,pp））;
lmd（pp）=k;
mi=min（T（a））;
ifmi==inf
else
d=find（T==mi）;
d=d
（1）;
P（d）=mi;
T（d）=inf;
k=d;
S（d）=1;
iflmd（y）==inf
foot='
cannotreach'
;
return;
foot
（1）=y;
g=2;
h=y;
while
（1）
ifh==x
foot（g）=lmd（h）;
g=g+1;
h=lmd（h）;
end
foot=A（foot,:
foot（:
3）=[];
5、模型评价与推广
1.模型的优点:
采用了较为成熟的数学理论建立模型，可行度比较高；
模型的求解运用了强大的matlab软件，结果可信度高，便于推广；
2.模型的缺点:
没有找到商人数﹑随从数及船的容量之间的数量关系；
没有考虑到实际生活中，在安全渡河的前提下，商人过河的优先级应高于随从。
3.该商人、随从过河模型可以完美解决此类商仆过河的决策问题，并且该模型还可推广至解决m个商人和n个随从过河，以及小船的最大载重人数改变时的问题，只需适当地改变相关的语句即可轻松实现模型的转换。
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