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微分中值定理及其应用

分类号UDC单位代码

密级公开学号2006040223

四川文理学院

学士学位论文

论文题目：

微分中值定理及其应用

论文作者：

XXX

指导教师：

XXX

学科专业：

数学与应用数学

提交论文日期：

2010年4月20日

论文答辩日期：

2010年4月28日

学位授予单位：

四川文理学院

中国·达州

2010年4月

目录

摘要 Ⅰ

ABSTRACT Ⅱ

引言

第一章微分中值定理历史 1

1.1引言 1

1.2微分中值定理产生的历史 2

第二章微分中值定理介绍 4

2.1罗尔定理 4

2.2拉格朗日中值定理 4

2.3柯西中值定理 6

第三章微分中值定理应用 7

3.1根的存在性的证明 7

3.2一些不等式的证明 8

3.3求不定式极限 10

3.3.1型不定式极限 10

3.3.2型不定式极限 11

3.4利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 12

第四章结论 14

参考文献 15

致谢 16

微分中值定理及其应用

学生：

XXX指导老师：

XXX

摘要微分中值定理是微分学的基本定理之一,在微分学有着重要的地位，其发展经历了几百年．费马作为微积分的创立者,提出了费马定理，罗尔在《方程的解法》中又有了罗尔定理的前身，拉格朗日在《解析函数论》一书中首次提出拉格朗日中值定理，柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理．在本论文第二章分别详细的介绍了微分中值定理的三大派别．微分中值定理的应用很广，在很多领域都可以看到其理论知识．在第三章微分中值定理的应用中分别从证明根的存在性问题、证明一些不等式、不定式极限三个方向简要说明其应用，并用一些经典的例题来诠释．

关键词：

罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；根的存在性；不定式极限

DIFFERENTIALMEANVALUETHEOREMANDITSAPPLICATION

student:

HuZhanhongSupervisor:

HuRong

ABSTRACTMeanValueTheoremisoneofthefundamentaltheoremofdifferentialcalculus,thedifferentialcalculusplaysanimportantrole.Itsdevelopmentthroughthecenturies,FermatasthefounderofcalculusproposedFermat'stheorem,Rollein"EquationSolution"intheformer,therehasbeenRolle'stheorem,Lagrangeinthe"theoryofanalyticfunctions"thefirsttimeabookLagrangemeanvaluetheorem,Cauchyinthe"differentialComputerCourse"givenintheinitialCauchy'stheorem.InthesecondchapterpresentedadetaileddescriptionoftheMeanValueTheoremofthethreemajorfactions.MeanValueTheoremisverybroad,canbeseeninmanyareasoftheirtheoreticalknowledge.ChapterIIIApplicationofMeanValueTheoremtoprovetheroot,respectively,fromtheexistenceoftheproblem,thatsomeofinequality,abriefdescriptionoftheinfinitivelimititsapplicationinthreedirections,andwithsomeclassicexamplestoexplain.

Keywords:

Rolle'stheorem，Lagrangetheorem，Cauchymeanvaluetheorem，Rootof，InfinitiveLimit

16

微分中值定理及其应用

第一章微分中值定理历史[1]

1.1引言

微分中值定理是微分学的基本定理之一,是研究函数的有力工具.微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日（Lagrange）中值定理为例,它的几何意义：

一个定义在区间上的可微（注：

连续且除端点外处处具有不垂直于轴的切线）的曲线弧,其上至少有一点，使曲线在这一点的切线平行于连接点与的割线．它的运动学意义：

设是质点的运动规律，质点在时间区间上走过的路程,代表质点在上的平均速度，在上至少存在某一时刻，使得质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度.

人们对微分中值定理的认识可以追溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:

“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德（Archimedes）正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.

意大利卡瓦列里（Cavalieri）在《不可分量几何学》（1635年）的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:

曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.

人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之时就开始了.1637年,著名法国数学家费马（Fermat）在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马引理.1691年,法国数学家罗尔（Rolle）在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明．对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西（Cauchy）,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》（1823年）、《微分计算教程》（1829年）以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.

1.2微分中值定理产生的历史

费马作为微积分的创立者,他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,费马的“虚拟等式法”基于一种非常直观的想法,如果为的极大值,那么从直观上来看，在附近值变化很小,当很小时,和相差很小.用现代语言来说,对于函数,让自变量从变化到,当为极值时,和的差近似为0,用e除虚拟等式,,然后让,就得到函数极值点的导数值为0,这就是费马定理:

函数在处取极值,并且可导,则.应该指出:

费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.

罗尔在论著《方程的解法》给出了“在多项式的两个相邻根中,方程至少有一个实根.”这是定理:

“在上连续,在上可导,并且,则必存在一点,使”的特例.也就是以上定理被称为罗尔定理的原因.最初罗尔定理和现代罗尔定理不仅内容有所不同,而且证明也大相径庭,它是罗尔利用纯代数方法加以证明的,和微积分并没有什么联系.现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数,“罗尔定理”这一名称是由德罗比什在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯在1846年发表的论文中正式使用的.

拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理．它是指:

“在上连续,在上可导,则存在一点,,使.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:

“函数在和之间连续,的最大值为,最小值为,则必取中一个值.”

历史上拉格朗日定理证明有三个,最初的证明是拉格朗日在《解析函数论》中给出的.这个证明很大程度建立在直观基础上,所以并不是严格的.它依赖于这样一个事实:

当,在上单调增加.所用的条件也比现在强,现代中值定理只须在上可导,而拉格朗日最初的中值定理,却需在上可导,并存在连续导数.并且所用连续概念,也是直观的,“假设变量连续地变化,那么函数将会产生相应变化,但是如果不经过一切中间值,它就不会从一个值过渡到另一个值.”十九世纪初,在以柯西等为代表的微积分严格化运动中,人们给出了极限、连续、导数的严格定义,也给拉格朗日中值定理以新的严格证明,柯西在《无穷小计算概论》中证明了：

如果在为连续,则必有一个,使现代形式的拉格朗日定理,是由法国数学家博（O.Bonnet）在其著作《CoursdeCalculDifferentieletintegral》中给出的,他不是利用的连续性,而是罗尔定理对拉格朗日定理加以重新证明.

柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指:

设和在上连续,在上可导,并且,则必有一个值,使

柯西在《微分计算教程》中给出最初的柯西定理:

和在上有连续的导数,并且在上不为零,这时对于某一点,有

柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.

5

微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项．从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.

第二章微分中值定理介绍[2]

2.1罗尔定理

定理1（罗尔定理）若函数f满足下列条件：

（1）在闭区间连续；

（2）在开区间可导；

（3），

则在开区间内至少存在一点，使得

（注：

在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）

罗尔定理的几何意义是说：

在除端点外处处可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端高度相等，则至少存在一条水平切线.

证明：

因为在上连续，所以有最大值和最小值，分别用和表示，现分两种情况来讨论：

（1）若，则在上必为常数，从而结论显然成立.

（2）若，则因,使得最大值和最小值至少有一个在内某点处取得，从而是的极值点.由条件

（2），在点处可导，故由费马定理推知

2.2拉格朗日中值定理

定理2（拉格朗日中值定理）若函数f满足如下条件：

（1）在闭区间连续；

（2）在开区间可导，

则在开区间内至少存在一点，使得

显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．

证明：

作辅助函数

显然，