山西省数学高考试题评析Word下载.docx

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今年的试卷，文理相同的题目有5道选择、1道填空、17、18、19及21题中各有一问相同，选做题相同；

姊妹题3道选择题、17、18、19及21题的另一问。

这些特点都给学生似曾熟悉的感觉，只要在备考阶段学生教师能有所研究，按照新课程的理念备考，那么学生就会比较适应这次的考试。

二、试题特点分析

试题看似简单，做完之后还是感慨命题者的睿智，就像是一杯清茶，饮后细品却觉韵味深远。

1．立足基础，突出主干，符合“考纲”，注重通性通法

试卷突出对主干知识的考查，比如考查函数（包括三角函数、导数、定积分）的试题，理科有2，5，9，11，12，21题；

文科有3，5，10，11，12，21题；

考查解析几何的试题，理科有：

7，14，20；

文科有4，9，20；

考查立体几何的试题，理科有6，15，18题；

文科有8，16，18题；

考查统计概率的试题，理科有：

4，19题；

文科有6，19题；

考查数列的试题，理科有：

3，17题；

文科有：

5，17题。

对于其他知识如集合、向量、解三角形、复数、简易逻辑、线性规划、算法等内容都有题目涉及，有的是独立命题，有的是与主干知识相结合命题。

可见整套试卷中涉及到的题目围绕主干知识将相关内容整合，达到对学生基础知识的考查，即有覆盖面又突出了重点。

今年试题的难度较往年相比有所下降，这一点更突出了试题特点的基础性，有很多题目都可以在书上直接找到原型题，解决方法都是学生比较熟悉的：

比如文科1，2,4,5，10，13，14题，理科1,3,6，7，9，13题；

还有些题是教材原型题变化、组合而来的，比如文科3，9，11，15，17，18题，理科2，8，11，18题。

2．体现了考改支持课改

《课标》是普通高中教学的“宪法”，高考是普通高中教学的指挥棒，只有二者统一才有利于稳定中学数学的教学秩序。

从这五年全国课标卷看，基本上能做到考改支持课改。

具体体现是：

（1）注重新增内容的考查，规避删减内容

纵观试卷，理科试题中3题考查算法中的程序框图，6题考查三视图，9题考查定积分，10题以向量为载体考查简易逻辑；

文科试题中5题考查算法中的程序框图，8题考查三视图，10题考查函数的零点。

文理共有的选作题都是针对新增内容的。

对于降低要求或者删减的数学内容，在历年的试卷中都秉承同一个原则：

不考。

比如，反函数、三垂线定理及其逆定理、双曲线和椭圆的第二定义、组合数的两个性质、棱柱、正棱锥和球的性质、分式不等式、极限等在今年的试卷中依然没有出现。

（2）试题的立意体现了新课程的要求

第一，复数每年都出现一道小题。

这是因为复数是连接初等数学与高等数学的桥梁，所以虽然课时少，但是不容忽视，但也不要深挖，每年的复数试题都是定位在课标和考试说明要求的范围内，即概念和代数计算。

第二，算法每年都有一道小题。

这是因为程序化思想是每一个公民都应具备的现代素养。

但是不考查程序，因为数学3中学习程序是为了帮助学生检验算法思想是否正确，编程是信息技术课的任务，这种定位体现了新课程增加算法内容的目的。

第三，集合与简易逻辑每年都有题目出现。

今年文科1题考查了集合、理科10题考查了简易逻辑。

集合的语言功能不但体现在数学学习中，推而广之每个人在做事时首先都要有范围意识。

简易逻辑是数学的基础，也是理性地表达的基础。

第四，数列从大纲卷的压轴题转移到课标卷的基础题，即17题的位置。

17题应该是每一位考生都应该拿分的题，从这五年看，理科在这个位置考查了3次数列（2008年，2010年，2011年）2次解三角形（2007年，2009年）；

文科在这个位置考查了2次数列（2010年，2011年）3次解三角形（2007年，2008年，2009年）。

今年再次考查数列问题，并以姊妹题的形式出现在文理科试题中。

试题以等比数列为背景，自然地与对数结合，在求解过程中用到了等差数列前n项和公式（前n个自然数和的公式），再用列项求和法求解。

有一定的综合性，但都是基本方法，如果学生有比较好的计算能力，那么这个基础题是容易得分的。

第五，立体几何题体现了空间向量的应用。

在大纲教材中立体几何是以综合几何的形式出现，课标教材在“数学2”“立体几何初步”中从整体感知立体图形到研究点、线、面的位置关系。

对于传统的二面角问题是在“数学2-1”中作为空间向量的应用进行研究的。

可见课标教材与大纲教材相比变化比较大。

针对这种变化，这五年的立体几何试题都体现了向量法优先的特征，而不是大纲试卷中的三垂线法优先，甚至不可能用上三垂线定理。

而文科的立体几何只学习“数学2”的“立体几何初步”，试题主要以计算为主，不涉及二面角，特别是2008年考查了三视图与直观图的关系及其基础上的推理计算。

第六，统计概率试题体现了统计基础上的概率。

与大纲相比较，课标中对概率内容的设置一分为二，分别安排在数学3和选修2-3中，并调整了排列组合、统计、概率的位置。

在大纲教材中，先学排列组合，紧接着学习概率，而且概率的学习以古典概型为主，统计则安排在选修部分。

这种顺序导致概率学习、训练的重心就放在了计数上。

学生对概率的理解完全是确定性数学下的套模型、计数，而没有概率思想。

课标教材则先学统计（抽样、数据收集、整理、分析等），紧接着学习概率的意义、古典概型、几何概型。

对于文科的学生这就是高中阶段概率学习的全部，对于理科学生将在2-3中继续学习概率和统计案例。

这样安排，在概率学习的第一阶段，弱化了概率学习中的计算（没有计数工具、古典概型中也只是学习等可能事件和互斥事件的概率），强化了对概率本质的理解，尤其是基于统计学习概率，并增加了“用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义”，实现真正的概率的学习。

纵观几年的高考试题，理科2007年考查了随机模拟、二项分布、互斥事件的概率等，2008年考查了分布列的相关问题，2009年统计基础上的概率以及利用频率分布直方图进行估计这个新增知识点，2010年考查了独立性检验，今年考查统计基础上的概率计算及分布列问题；

文科在2007年、2008年都是考查了列举法计数基础上的概率，2009年、2010年与理科试题相同，今年与理科试题是姊妹题。

回窥教材的变化可以看出，高考试题的命制体现课标的要求，与教材的立意是一致的。

3．试题的亮点

与前4年的试题相比，今年的试题稳中求新，看似熟悉，但又有变化。

（1）解析几何大题以一般轨迹位置载体命制，并与导数结合。

理科2007年、2008年、2010年考查了直线与椭圆的位置关系，2009年考查了椭圆的方程及动点的轨迹问题，可见前4年都是以椭圆为载体命制的，今年则以轨迹问题命制，考查了解析几何的基本方法——坐标法，而且所求得的轨迹是一个非标准位置的抛物线，继而转到利用导数求切线，进而求点到直线的距离问题。

这样命制不依托于某个具体的圆锥曲线，更有利于考查学生对解析几何基本思想方法的掌握程度。

文科的解析几何题目则与2007年、2008年一样依托圆命制。

（2）函数导数题突出了函数与导函数图象的关系。

理科21题第2问，将问题转化为当x>

0，且x≠1时，>

0，求k的取值范围。

又可知当x∈（0，1）时，>

0；

当x∈（1，+∞）时，<

0。

令h（x）=，欲使g（x）>

0，需要当x∈（0，1）时，h（x）>

0，当x∈（1，+∞）时，h（x）<

又h

（1）=0。

于是可以画出函数h（x）的草图，即x∈（0，1）时，h（x）的图象位于x轴的上方，当x∈（1，+∞）时，h（x）的图象位于x轴的下方，并与x轴交于点（1,0），所以猜想其单调性应该是单调递减，所以其导函数图象位于x轴下方，即h（x）<

此处是求解的关键，而突破口就是函数与其导函数图象之间的关系，可见充分应用数形结合的好处。

进一步，又可得h（x）=，所以原问题转化为当x>

0，且x≠1时，<

分类讨论可得：

当k=时，不满足条件。

当k≠时，只能是解得k≤0。

（3）几何证明选讲试题体现了数形结合的思想。

前4年的几何证明选讲试题是纯粹的平面几何题，今年的题目给人的第一印象是一些数量关系，事实上在证明三角形相似时，看似讨论的是边长的关系，实质是数量关系，即比例关系，这种返璞归真倒给人一种新鲜感。

在解决第二问时，如果学生有坐标法的思想，那么就可以以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，于是利用垂径定理求得圆心的坐标，轻松求解。

（4）不等式选讲试题绝对值中含参数

前4年的题目或者不含参，或者在绝对值之外含参，今年的题目是绝对值中含参，但是其解法依然是最基本的分段讨论去绝对值法，体现了载体变化时方法的稳定性。

4．注重数学思想方法的考查

今年的题目不难，但如果没有掌握一定的数学思想方法，有些题目也不容易求解。

（1）考查数形结合的思想方法

试卷中运用数形结合思想方法的题目很多，比如理科的2，5，9，10，11，12，13等，尤其是12题，如果能自觉应用数形结合的思想方法准确地画出两个函数的图象，就可以很快的估计出交点横坐标之和，否则就不容易求解。

同理，11题对图形的准确性要求也比较高。

而10题要在动态过程中考查向量加法的几何意义。

文科中类似的题目有3，7，10，11，12，14，20。

上面这些题目都是形助数，此外文理共有的22题，如上所述则体现了数助形。

在解析几何与函数题目中这种思想方法是自然地应用，不再列举。

（2）考查分类讨论思想

这也是每年的主题，体现在理科的5，8，10，21，24题，文科的1，7，21，24题中。

这也是对学生思维严谨性的考查。

（3）考查化归思想

这种思想更具有普遍性，但是在有些题目中如果没有明确的化归方向，那么将导致求解困难。

比如理科的第8题，要求展开式中的常数项，只要转化为求展开式中含x和的项即可，于是思路清晰。

又如理科15题，可以转化为一个平面问题，即过O，A，C三点的大圆中点O到AC的距离，进而求解。

理科的第21题不同的转化途径将产生不同的解法，如可以转化为恒成立问题，也可以转化为含参数分类讨论问题等等。

三、需要商榷的几个问题

1．文科6题的导向

根据课标文科生不学习计数原理，但是第6题的解决用计数原理求解显然比用列举法求解简单，因此需要思考这个题目的导向。

2．理科5文科7题的立意

这个题目是考查三角函数的定义的，课标的要求是“利用单位圆理解任意角的三角函数的定义”，但是这个题目的求解显然用传统定义比用课标中要求的利用单位圆给出的定义简单，所以这个题目的立意需要思考。

3．第21题的解法

在求解第21题第2问时，如果转化为恒成立问题：

当x>

0，且x≠1时恒成立，进而求当x>

0，且x≠1时的最小值。

求导得u（x）=，令u（x）=0，之后发现其驻点只能是x=1。

u（x）的分子可以整理为2[]，所以当x∈（0,1）时u（x）<

0，当x∈（1,+∞）时u（x）>

0，于是u（x）>

u

（1）。

因为x≠1，所以