高中数学选修2-1第三章空间向量测试题Word文件下载.doc
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8.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若ABCD是边长为2的正方形,AA1=1,∠A1AD=∠A1AB=60°
,则BD1的长为( )
A.3B.C.D.9
9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AA1,∠ABC=90°
,点E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF与BC1所成的角是( )
A.45°
B.60°
C.90°
D.120°
10.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥的体积最大时,直线BD与平面ABC所成的角的大小为( )
A.90°
C.45°
D.30°
11.如图所示,在三棱锥P-ABC中,∠APB=∠BPC=∠APC=90°
,M在△ABC内,∠MPA=60°
,∠MPB=45°
,则∠MPC的度数为( )
A.150°
B.45°
C.60°
D.120°
12.已知直二面角α-PQ-β,A∈PQ,B∈α,C∈β,CA=CB,∠BAP=45°
,直线CA和平面α所成的角为30°
,那么二面角B-AC-P的正切值为( )
A.2B.3C.D.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.已知四面体ABCD中,=a-2c,=5a+6b-8c,AC,BD的中点分别为E,F,则=________.
14.在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ACB=90°
,∠BAC=30°
,BC=1,AA1=,M是CC1的中点,则异面直线AB1与A1M所成角的大小为________.
15.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABCD是边长为a的正方形,AA1=b,∠A1AB=∠A1AD=120°
,则AC1的长为________.
16.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成角的正弦值为________.
三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)
17.(10分)已知A(1,-2,11),B(6,-1,4),C(4,2,3),D(12,7,-12),证明:
A,B,C,D四点共面.
18.(12分)如图,已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1上,∠PDA=60°
.
(1)求DP与CC1所成角的大小;
(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小.
19.(12分)如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
(1)求证A1E⊥BD;
(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.
20.(12分)如图,四边形PDCE为矩形,四边形ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°
,AB=AD=CD=a,PD=a.
(1)若M为PA的中点,求证:
AC∥平面MDE;
(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小.
21.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD于点M.
(1)求证AM⊥PD;
(2)求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值.
22.(12分)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,且∠BAD=120°
,PA⊥平面ABCD,PA=2,M,N分别为PB,PD的中点.
(1)证明MN∥平面ABCD;
(2)过点A作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.
第三章单元质量评估
(一)
1.C ∵a∥b,∴b=ma(m∈R),
∴==,得λ=-.
2.A ++-=-=+=.
3.C a·
b=6-m,|a|=,|b|=3,cos〈a,b〉===,解得m=-2或m=.
4.D 由已知得a+b=(0,1,2)且|a+b|=,则与向量a+b方向相反的单位向量为-(0,1,2)=(0,-,-).故选D.
5.D
6.D 连接ON,∵M,N分别是对边OA,BC的中点,∴=,=(+),
∴=+=+=+(-)=+=×
+×
(+)=++,∴x=,y=z=.故选D.
7.C
8.A =++=++,||2=2=(++)2=||2+||2+||2+2·
+2·
=4+4+1+0+2×
2×
1×
(-)+2×
=9,||=3,即BD1的长为3.
9.B
以点B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设各棱长为2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),B(0,0,0),则=(0,-1,1),=(2,0,2),∴cos〈,〉==,∴〈,〉=60°
,∴直线EF与BC1所成的角为60°
10.C 翻折后A,B,C,D四点构成三棱锥的体积最大时,平面ADC⊥平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角,大小为45°
11.C
如右图所示,过M作MH⊥面PBC于H,则MH∥AP,∴∠MPH=30°
,∴cos45°
=cos∠HPB·
cos30°
,∴cos∠HPB=,∴cos∠HPC=.又cos∠HPC·
=cos∠MPC,∴×
=cos∠MPC,∴∠MPC=60°
12.A 在平面β内过点C作CO⊥PQ于O,连接OB.又α⊥β,则OC⊥OB,OC⊥OA,又CA=CB,所以△AOC≌△BOC,故OA=OB.又∠BAP=45°
,所以OA⊥OB.以O为原点,分别以OB,OA,OC所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).
不妨设AC=2,由∠CAO=30°
,知OA=,OC=1.在等腰直角三角形OAB中,∠ABO=∠BAO=45°
,则OB=OA=,所以B(,0,0),A(0,,0),C(0,0,1),=(,-,0),=(0,-,1),设平面ABC的法向量为n1=(x,y,z),由,取x=1,则y=1,z=,所以n1=(1,1,),易知平面β的一个法向量为n2=(1,0,0),则cos〈n1,n2〉===,又二面角B-AC-P为锐角,由此可得二面角B-AC-P的正切值为2.
13.3a+3b-5c
解析:
如图所示,取BC的中点M,连接EM,MF,则=+=+=(a-2c)+(5a+6b-8c)=3a+3b-5c.
14.
由条件知AC,BC,CC1两两垂直,如图,以C为原点,CB,CA,CC1分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),A(0,,0),B1(1,0,),M,A1(0,,),
∴=(1,-,),
=,
cos〈,〉=0,∴〈,〉=,
即直线AB1与A1M所成角为.
15.
设=a,=b,=c,则|a|=|b|=a,|c|
=b,∴=++=a+b+c,∴||2=(a+b+c)2=2a2+b2-2ab,∴||=.
16.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-a,0),
设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),由,
得,则,故n1=(1,-1,1).设GB与平面AGC所成的角为θ,则
sinθ===.
17.证明:
=(5,1,-7),=(3,4,-8),=(11,9,-23),设=x+y,
得,
解得x=1,y=2.
所以=+2,则,,为共面向量,又,,有公共点A,因此A,B,C,D四点共面.
18.解:
如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则=(1,0,0),=(0,0,1),连接BD,B1D1,在矩形BB1D1D中,延长DP交B1D1于H点.
设=(m,m,1)(m>
0),〈,〉=60°
,则·
=||||cos〈,〉,
可得2m=,得m=,
所以=(,,1).
(1)cos〈,〉==,所以〈,〉=45°
,即DP与CC1所成的角为45°
(2)平面AA1D1D的一个法向量为=(0,1,0),cos〈,〉==,所以〈,〉=60°
,故DP与平面AA1D1D所成的角为30°
19.
(1)证明:
如图所示,以D为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a),设E(0,a,e),则=(-a,a,e-a),=(-a,-a,0),·
=-a·
(-a)+a·
(-a)+(e-a)·
0=0,∴⊥,则A1E⊥BD.
(2)解:
当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.由题意可得DE=BE,
∴EO⊥BD.
同理A1O⊥BD,∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角,EO==a,A1O==a,A1E2=(a)2+2=a2,∴EO2+A1O2=a2=A1E2,∴∠A1OE=90°
,∴平面A1BD⊥平面EBD.
20.解:
∵四边形PDCE是矩形,且平面PDCE⊥平面ABCD,平面PDCE∩平面ABCD=CD,∴PD⊥平面ABCD,则PD⊥AD,PD⊥DC,又∠ADC=90°
,∴PD,AD,DC两两垂直.以D为原点,分别以DA,DC,DP所在
直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知,得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,2a,a),C(0,2a,0),B(a,a,0).
(1)∵M为PA的中点,∴M(,0,),
则=(-a,2a,0),=(,0,),=(0,2a,a).
设平面MDE的法向量为m