高中数学选修2-1第三章空间向量测试题Word文件下载.doc

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8．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，若ABCD是边长为2的正方形，AA1＝1，∠A1AD＝∠A1AB＝60°

，则BD1的长为（　　）

A．3B.C.D．9

9.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°

，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF与BC1所成的角是（　　）

A．45°

B．60°

C．90°

D．120°

10．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（　　）

A．90°

C．45°

D．30°

11.如图所示，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°

，M在△ABC内，∠MPA＝60°

，∠MPB＝45°

，则∠MPC的度数为（　　）

A．150°

　　B．45°

C．60°

D．120°

12．已知直二面角α－PQ－β，A∈PQ，B∈α，C∈β，CA＝CB，∠BAP＝45°

，直线CA和平面α所成的角为30°

，那么二面角B－AC－P的正切值为（　　）

A．2B．3C.D.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.

14．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°

，∠BAC＝30°

，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角的大小为________．

15．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，ABCD是边长为a的正方形，AA1＝b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°

，则AC1的长为________．

16.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为________．

三、解答题（写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分）

17．（10分）已知A（1，－2,11），B（6，－1,4），C（4,2,3），D（12,7，－12），证明：

A，B，C，D四点共面．

18．（12分）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°

.

（1）求DP与CC1所成角的大小；

（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小．

19.（12分）如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．

（1）求证A1E⊥BD；

（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．

20.（12分）如图，四边形PDCE为矩形，四边形ABCD为梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°

，AB＝AD＝CD＝a，PD＝a.

（1）若M为PA的中点，求证：

AC∥平面MDE；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小．

21.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.

（1）求证AM⊥PD；

（2）求直线CD与平面ACM所成的角的余弦值．

22.（12分）如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，且∠BAD＝120°

，PA⊥平面ABCD，PA＝2，M，N分别为PB，PD的中点．

（1）证明MN∥平面ABCD；

（2）过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．

第三章单元质量评估

（一）

1．C　∵a∥b，∴b＝ma（m∈R），

∴＝＝，得λ＝－.

2．A　＋＋－＝－＝＋＝.

3．C　a·

b＝6－m，|a|＝，|b|＝3，cos〈a，b〉＝＝＝，解得m＝－2或m＝.

4．D　由已知得a＋b＝（0,1,2）且|a＋b|＝，则与向量a＋b方向相反的单位向量为－（0,1,2）＝（0，－，－）．故选D.

5．D　

6．D　连接ON，∵M，N分别是对边OA，BC的中点，∴＝，＝（＋），

∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝×

＋×

（＋）＝＋＋，∴x＝，y＝z＝.故选D.

7．C

8．A　＝＋＋＝＋＋，||2＝2＝（＋＋）2＝||2＋||2＋||2＋2·

＋2·

＝4＋4＋1＋0＋2×

2×

1×

（－）＋2×

＝9，||＝3，即BD1的长为3.

9．B　

以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E（0,1,0），F（0,0,1），C1（2,0,2），B（0,0,0），则＝（0，－1,1），＝（2,0,2），∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝60°

，∴直线EF与BC1所成的角为60°

10．C　翻折后A，B，C，D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC⊥平面BAC，设未折前正方形对角线的交点为O，则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°

11.C　

如右图所示，过M作MH⊥面PBC于H，则MH∥AP，∴∠MPH＝30°

，∴cos45°

＝cos∠HPB·

cos30°

，∴cos∠HPB＝，∴cos∠HPC＝.又cos∠HPC·

＝cos∠MPC，∴×

＝cos∠MPC，∴∠MPC＝60°

12．A　在平面β内过点C作CO⊥PQ于O，连接OB.又α⊥β，则OC⊥OB，OC⊥OA，又CA＝CB，所以△AOC≌△BOC，故OA＝OB.又∠BAP＝45°

，所以OA⊥OB.以O为原点，分别以OB，OA，OC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．

不妨设AC＝2，由∠CAO＝30°

，知OA＝，OC＝1.在等腰直角三角形OAB中，∠ABO＝∠BAO＝45°

，则OB＝OA＝，所以B（，0,0），A（0，，0），C（0,0,1），＝（，－，0），＝（0，－，1），设平面ABC的法向量为n1＝（x，y，z），由，取x＝1，则y＝1，z＝，所以n1＝（1,1，），易知平面β的一个法向量为n2＝（1,0,0），则cos〈n1，n2〉＝＝＝，又二面角B－AC－P为锐角，由此可得二面角B－AC－P的正切值为2.

13．3a＋3b－5c

解析：

如图所示，取BC的中点M，连接EM，MF，则＝＋＝＋＝（a－2c）＋（5a＋6b－8c）＝3a＋3b－5c.

14.

由条件知AC，BC，CC1两两垂直，如图，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B（1,0,0），A（0，，0），B1（1,0，），M，A1（0，，），

∴＝（1，－，），

＝，

cos〈，〉＝0，∴〈，〉＝，

即直线AB1与A1M所成角为.

15.

设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝a，|c|

＝b，∴＝＋＋＝a＋b＋c，∴||2＝（a＋b＋c）2＝2a2＋b2－2ab，∴||＝.

16.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A（0,0,0），B（0,2a,0），C（0,2a,2a），G（a，a,0），F（a,0,0），＝（a，a,0），＝（0,2a,2a），＝（a，－a,0），

设平面AGC的一个法向量为n1＝（x1，y1,1），由，

得，则，故n1＝（1，－1,1）．设GB与平面AGC所成的角为θ，则

sinθ＝＝＝.

17．证明：

＝（5,1，－7），＝（3,4，－8），＝（11,9，－23），设＝x＋y，

得，

解得x＝1，y＝2.

所以＝＋2，则，，为共面向量，又，，有公共点A，因此A，B，C，D四点共面．

18．解：

如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则＝（1,0,0），＝（0,0,1），连接BD，B1D1，在矩形BB1D1D中，延长DP交B1D1于H点．

设＝（m，m,1）（m>

0），〈，〉＝60°

，则·

＝||||cos〈，〉，

可得2m＝，得m＝，

所以＝（，，1）．

（1）cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°

，即DP与CC1所成的角为45°

（2）平面AA1D1D的一个法向量为＝（0,1,0），cos〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°

，故DP与平面AA1D1D所成的角为30°

19.

（1）证明：

如图所示，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a，则A（a,0,0），B（a，a,0），C（0，a,0），A1（a,0，a），C1（0，a，a），设E（0，a，e），则＝（－a，a，e－a），＝（－a，－a,0），·

＝－a·

（－a）＋a·

（－a）＋（e－a）·

0＝0，∴⊥，则A1E⊥BD.

（2）解：

当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.由题意可得DE＝BE，

∴EO⊥BD.

同理A1O⊥BD，∠A1OE为二面角A1－BD－E的平面角，EO＝＝a，A1O＝＝a，A1E2＝（a）2＋2＝a2，∴EO2＋A1O2＝a2＝A1E2，∴∠A1OE＝90°

，∴平面A1BD⊥平面EBD.

20．解：

∵四边形PDCE是矩形，且平面PDCE⊥平面ABCD，平面PDCE∩平面ABCD＝CD，∴PD⊥平面ABCD，则PD⊥AD，PD⊥DC，又∠ADC＝90°

，∴PD，AD，DC两两垂直．以D为原点，分别以DA，DC，DP所在

直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得D（0,0,0），A（a,0,0），P（0,0，a），E（0,2a，a），C（0,2a,0），B（a，a,0）．

（1）∵M为PA的中点，∴M（，0，），

则＝（－a,2a,0），＝（，0，），＝（0,2a，a）．

设平面MDE的法向量为m