1983年全国高考数学试题及其解析Word格式.doc
《1983年全国高考数学试题及其解析Word格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1983年全国高考数学试题及其解析Word格式.doc（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
三．（本题满分12分）
1．已知，求微分
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。
四．（本题满分12分）
计算行列式（要求结果最简）：
五．（本题满分15分）
1．证明：
对于任意实数t，复数的模
适合
2．当实数t取什么值时，复数的幅角主值适合？
六．（本题满分15分）
如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上;
M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成的角等
于∠NSC，求证SC垂直于截面MAB
七．（本题满分16分）
如图，已知椭圆长轴|A1A2|=6，焦距|F1F2|=，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M，N设∠F2F1M=α（0≤α＜π）当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长？
八．（本题满分16分）
已知数列{an}的首项a1=b（b≠0），它的前n项的和Sn=a1+a2+…+an（n≥1）,并且S1，S2，Sn，…是一个等比数列，其公比为p（p≠0且|p|＜1）
a2,a3,a3,…an,…（即{an}从第二项起）是一个等比数列
2．设Wn=a1S1+a2S2+a3S3+…+anSn（n≥1）,求（用b,p表示）
九．（本题满分12分）
1．已知a,b为实数，并且e<
a<
b，其中e是自然对数的底，证明ab>
ba.
2.如果正实数a,b满足ab=ba.且a<
1，证明a=b
文史类试题
一．（本题满分10分）
1．在直角坐标系内，函数y=|x|的图象（）
（A）关于原点对称（B）关于坐标轴、原点都不对称
（C）关于x轴对称（D）关于y轴对称
2．抛物线x2+y=0的焦点位于（）
（A）y轴的负半轴上（B）y轴的正半轴上
（C）x轴的负半轴上（D）x轴的正半轴上
3．两条异面直线，指的是（）
4．对任何的值等于（）
（A）（B）（C）（D）
5．这三个数之间的大小顺序是（）
（A）（B）
（C）（D）
二．（本题满分10分）
方程
x2+y2=2x
x2-y2=0
图形名称
图形
三．（本题满分10分）
1求函数的定义域
2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法
已知复数
五．（本题满分14分）
在圆心为O、半径为常数R的半圆板内画内接矩形（如图）当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？
求出这个最大面积
六．（本题满分14分）
如图，地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20米，在A点处测得P点的仰角∠OAP=300，在B点处测得P点的仰角∠OBP=450，又测得∠AOB=600，求旗杆的高度h（结果可以保留根号）
如图，已知一块直角三角形板ABC的BC边在平面α内，
∠ABC=600，∠ACB=300，BC=24cm，A点在平面α内的射影为N，AN=9cm求以A为顶点的三棱锥A-NBC的体积（结果可以保留根号）
八．（本题满分17分）
一个等比数列有三项如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列;
如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列
九．（本题满分17分）
如图，已知两条直线L1:
2x-3y+2=0,L2:
3x-2y+3=0.有一动圆（圆心和半径都在变动）与L1，L2都相交，并且L1，L2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M的轨迹方程，并说出轨迹的名称
理工农医类参考答案
一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.
（1）D;
（2）A;
（3）D;
（4）C;
（5）C.
二、解：
1.图形如左图所示
交点坐标是：
O（0，0），P（1，-1）
2．曲线名称是：
圆
图形如右所示
三、解：
1.
2．
或：
四、解法一:
把第1列乘以sinj加到第2列上,再把第3列乘以（-cosj）加到第2列上,得
解法二:
把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得
解法三:
把行列式按第2列展开,得
解法四:
把行列式按定义展开,并运用三角公式,得
五、1．证：
复数（其中t是实数）的模为
要证对任意实数t，有，只要证对任意实数t，
成立
对任意实数t，因为，所以可令
且，于是
2．因为复数的实部与虚部都是非负数，所以z的幅角主值一定适合从而
显然因为
由于
这就是所求的实数t的取值范围
六、证：
因为SN是底面的垂线，NC是斜线SC在底面上的射影，
AB⊥NC，所以AB⊥SC（三垂线定理）
连结DM因为AB⊥DC，AB⊥SC，
所以AB垂直于DC和SC所决定的平面又因DM在这个平面内，所以AB⊥DM
∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角，∠MDC=∠NSC
在△MDC和△NSC中，因为∠MDC=∠NSC，∠DCS是公共角，
所以∠DMC=∠SNC=900从而DM⊥SC从AB⊥SC，DM⊥SC，
可知SC⊥截面MAB
七、解一：
以椭圆焦点F1为极点，以F1为起点并过F2的射线为极轴建立极坐标系
由已知条件可知椭圆长半轴a=3，半焦距c=，短半轴b=1，离心率e=，中心到准线距离=,
焦点到准线距离p=.椭圆的极坐标方程为
解得
以上解方程过程中的每一步都是可逆的，
所以当或时，|MN|等于短轴的长
解二：
以椭圆的中心为原点，F1F2所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）由已知条件知，椭圆的方程为
MN所在直线方程为
解方程组
消去y得.
下同解法一
解三：
建立坐标系得椭圆如解二，
MN所在直线的参数方程为
代入椭圆方程得
设t1,t2是方程两根，则由韦达定理，
下同解一
解四：
设|F1M|=x,则|F2M|=6-x|F1F2|=，∠F2F1M=α
在△MF1F2中由余弦定理得
同理，设|F1N|=y，则|F2N|=6-y在△F1F2N中，由余弦定理得
八、1．证：
由已知条件得S1=a1=b.
Sn=S1pn-1=bpn-1（n≥1）
因为当n≥2时，Sn=a1+a2+…+an-1+an=Sn-1+an,所以
an=Sn-Sn-1=bpn-2（p-1）（n≥2）从而
因此a2,a3,a3,…an,…是一个公比为p的等比数列
2．解：
当n≥2时，
且由已知条件可知p2<
1，因此数列a1S1，a2S2，a3S3，…anSn…是公比为p2<
1的无穷等比数列于是
从而
九、1．证：
当e<
b时，要证ab>
ba，只要证blna>
alnb,
即只要证
考虑函数因为但时，
所以函数内是减函数
因为e<
b，所以，即得ab>
ba
2．证一：
由ab=ba，得blna=alnb，从而
考虑函数，它的导数是
因为在（0，1）内，所以f（x）在（0，1）内是增函数
由于0<
1,b>
0,所以ab<
1,从而ba=ab<
1.由ba<
1及a>
0,
可推出b<
由0<
1,0<
b<
1,假如，则根据f（x）在（0，1）内是增函数，得，即，从而这与ab=ba矛盾
所以a=b
证二：
因为0<
1，ab=ba，所以即
假如a<
b，则，但因a<
1，根据对数函数的性质，得
矛盾
所以a不能小于b
假如a>
b，则，而，这也与矛盾
所以a不能大于b因此a=b
证三：
b，则可设，其中ε>
0由于0<
1,ε>
根据幂函数或指数函数的性质，得和，
所以
即ab<
ba.这与ab=ba矛盾所以a不能小于b
假如b<
a，则b<
1，可设a=b+ε,其中ε>
0,同上可证得ab<
这于ab=ba矛盾所以a不能大于b
因此a=b
文史类参考答案
二、在平面直角坐标系内，表中的方程表示什么图形？
画出这些图形
两条相交直线
1.根据题意，得
解得
2．
四、证：
五、解：
设矩形在半圆板直径上的一边长为2x，α角如图所示，则x=Rcosα,另一边的长为Rsinα矩形面积S为
S=2R2sinαcosα.
=R2sin2α
当2α=即α=时，也即长为，宽为时，矩形面积最大
最大面积是R2
六、解：
在直角三角形AOP中，得
OA=OPctg300=.
在直角三角形BOP中，得
OB=OPctg450=h
在三角形AOB中，由余弦定理得
答：
略
七、解：
自N作NE⊥BC，E为垂足连结AE，
由三垂线定理可知AE⊥BC
在直角三角形ABC中，
在直角三角形ANE中，
三棱锥A-NBC的体积
八、解：
设所求等比数列为,q,q2,由已知条件得
由=2,q=3,得所求等比数列是2，6，18;
由，得所求等比数列是
经检验均正确
九、解：
设圆心M的坐标为（x,y），圆的半径为r，
点
升级会员 