角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用文档格式.doc
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2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线
a、如图甲：
等腰三角形的一腰与角的一边平行
b、如图乙：
等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行
3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线
与一腰平行
与底边平行
角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；
或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。
这种思维方法称为“知识板块”思维。
角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：
I
例1、如图1：
已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。
求证：
DE=BD+CE。
证明：
图
（2）
例2、如图2：
已知I是△ABC的内心，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。
△DIE的周长等于BC。
同理：
EI=CE。
∴△DIE的周长=DI+IE+ED=BC
F
M
例3、如图3：
已知在△ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：
EF=BE—CF。
CF=FD
∴EF=ED–FD=BE–CF
例1、例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个发现是突破此类问题难点的关键。
例4、平行四边形ABCD中，AB=3，BC=4，的平分线交AD于点E，的平分线交AD于点F，BE、CF交于点G，FG=1。
求：
的度数。
解：
同理可证：
DF=CD=AB=3AF=1
∴EF=AD－（AF+DE）=4－2=2
∴∴
评注：
①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE和△DCF。
②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。
③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到RT△BGC，RT△BGF。
④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。
⑤用三角形内角和定理得。
例5、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O；
DE平分ADC，交BC于点E，BDE=150，求COE的度数。
∴
等边△OCD
∴
∵∴
①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。
②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。
③等腰三角形的一个底角=。
④此题关键是。
⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。
例6、在△ABC中，，AD⊥BC于点D，点E在BC的延长线上，且，AD=3，DE=4。
CD：
CE的值。
①关键由发现AC平分。
②作角平分线的平行线构造出等腰△ADF。
③由勾股定理求出AE=5，从而求出CD：
例7、如图：
BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。
求DE之长。
。
设AE=AD=x；
则DE=x
∴∴
∴
①发现△AED仍为等腰直角三角形。
②由角平分线、平行线发现等腰△BED。
③设未知数，列方程求出DE之长。
（方程思想）
例8、如图：
已知Rt△ABC中，以AB为直径的⊙O交斜边BC于点D，OE//BC交AC于点E。
DE是⊙O的切线。
∴ED是圆O的切线。
①只能利用定义证明直线与圆相切。
②由等腰三角形和平行线，发现角平分线得∠1=∠2。
③利用全等三角形证等角，利用垂直证垂直。
P
例9、AB是⊙O的直径，BC是⊙O外一点。
PB⊥AB，AC//OP交⊙O于C点。
PC是⊙O的切线。
连结，则
【切线的判定方法：
过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。
】
①由等腰△AOC的构造出现，进而可发现∠3=∠4。
②利用直角∠B证明了∠PCO为直角。
③具体判定直线与圆相切的两个判别方法：
⑴作垂足，垂足在圆上。
⑵连半径，证明半径的外端就是垂足。
6
5
例10、已知：
AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线。
切点为点B，DC是⊙O的切线。
OC//AD。
证明:
连结OD,则
欲证相切，找垂直。
利用直角证直角。
31
例11、如图：
已知在梯形ABCD中，点O在AB上，半圆⊙O与AD、CD、BC相切，且AD=5，BC=3。
求AB的长。
（方法一）连结OC、OD
则有
OA=AD=5
∴AB=OA+OB=5+3=8
（方法二）延长DA至E，延长CB至F，使AE=AD、BF=BC；
连结EF，则EF//CD，且EF与⊙O相切。
则
（圆外切四边形的对边之和相等）。
例12、已知P为⊙O外一点，通过作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D点，且AB是⊙O的直径。
已知PA=OA=4，AC=CD。
⑴求CD长。
⑵求cosB的值。
连结BC、OC、AD。
设PC=y,CD=x.
∵PO=8,OB=4∴
∴y（y+x）=4×
12
AB是圆O的直径.
∴BC=
∵∠BDA=90O
∴cosB=
①平行线截得成比例线段。
②割线定理可变成为成比例线段。
③代数法解几何题（方程思想）。
④引申说明：
BC是圆周角的平分线，因此一定会出现等腰三角形ACD;
BC是∠ABD的平分线，而AB又是⊙O的直径。
因此，连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC//BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。
同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。
例13、如图：
AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，直线DE切⊙O于点C,AB的延长线交ED于点E，CG⊥AB于点G，AD⊥CD于点D,AD交⊙O于点F.
H
G
AG·
BG=AD·
DF.
（方法一）连结OC,则
⑴
延长CG交⊙O于点H..
⑵
CD2=DF·
AD⑶
由⑴⑵⑶得：
GB=AD·
DF.
（方法二）连结CB，则
①由平行线、等腰三角形得到角平分线。
②由角平分线性质得：
CD=CG.
③垂直平分弦定理；
相交弦定理；
切割线定理；
综合得结论。
④运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证：
∠1=∠2；
再证：
CG=CD.
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