1、2等腰三角形与角平分线往往出现平行线a、如图甲:等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙:等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行 3等腰三角形与平行线往往出现角平分线与一腰平行与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切,在题设中若见其一,应思其二,想其三;或作其二,寻找发现其三,这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙,突破解题的一个难点,使一类题目变难为易成为可能,使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例:I例1、如图1:已知在ABC中ABC、ACB的平分线交于点I,过点I作DE/BC,分别交AB、AC于
2、点D、E。求证:DE=BD+CE。证明: 图(2) 例2、如图2:已知I是ABC的内心,DI/AB交BC于点D,EI/AC交BC于E。DIE的周长等于BC。同理:EI = CE。DIE的周长=DI + IE + ED = BCFM 例3、如图3:已知在ABC中,ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D,DE/BC,交AB于点E,交AC于点F,求证:EF = BECF。CF = FD EF = ED FD = BE CF例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形,并且同时出现两个,而这个发现是突破此类问题难点的关键。例4、平行四边形ABCD中,AB=3,BC=4,的平分线交AD于点
3、E, 的平分线交AD于点F,BE、CF交于点G,FG=1。求:的度数。解: 同理可证:DF = CD = AB = 3 AF = 1EF = AD (AF + DE )= 4 2 = 2 评注:此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形,即ABE和DCF。利用平行四边形的对边相等,分别得到AF=DE=1。用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到RTBGC,RTBGF。如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。用三角形内角和定理得。例5、在矩形ABCD中,AC与BD交于点O;DE平分ADC,交BC于点E,BDE=150,求COE的度数。 等边OCD 矩形的对角线相等且相互平分,即矩形
4、的对角线把矩形分成四个等腰三角形。有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。等腰三角形的一个底角=。此题关键是。此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE”。例6、 在ABC中,A DB C于点D ,点E在B C的延长线上,且,AD=3,DE=4。CD:CE的值。关键由发现AC平分。作角平分线的平行线构造出等腰ADF。由勾股定理求出AE=5,从而求出CD:例7、 如图:BD是角平分线DE/BC,交AB于点E。求DE之长。设AE=AD=x;则DE=x 发现AED仍为等腰直角三角形。 由角平分线、平行线发现等腰BED。 设未知数,列方程求出DE之长。(方程思想)例8、 如图:已知RtABC中,
5、以AB为直径的O交斜边BC于点D,OE/BC交AC于点E。DE是O的切线。 ED是圆O的切线。只能利用定义证明直线与圆相切。 由等腰三角形和平行线,发现角平分线得1=2。 利用全等三角形证等角,利用垂直证垂直。P例9、AB是O的直径,BC是O外一点。PBAB,AC/OP交O于C点。PC是O的切线。连结,则【切线的判定方法:过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。】由等腰AOC的构造出现,进而可发现3 = 4。 利用直角B证明了P C O为直角。 具体判定直线与圆相切的两个判别方法: 作垂足,垂足在圆上。 连半径,证明半径的外端就是垂足。65例10、已知:AB是O的直径,BC是O的切线。切点为点
6、B,DC是O的切线。OC/AD。证明:连结OD,则欲证相切,找垂直。利用直角证直角。31例11、如图:已知在梯形ABCD中,点O在AB上,半圆O与AD、CD、BC相切,且AD = 5, BC = 3。求AB的长。(方法一)连结OC、OD则有OA = AD = 5AB = OA + OB = 5 + 3 = 8(方法二)延长DA至E,延长CB至F,使AE=AD、BF=BC;连结EF,则EF/CD,且EF与O相切。则(圆外切四边形的对边之和相等)。例12、已知P为O外一点,通过作O的两条割线,分别交O于A、B和C、D点,且AB是O的直径。已知PA=OA=4,AC=CD。求CD长。求cosB的值。连
7、结BC、OC、AD。设PC= y , CD= x .PO = 8 , OB = 4 y(y + x) = 412AB是圆O的直径.BC= BDA = 90O cosB=平行线截得成比例线段。 割线定理可变成为成比例线段。 代数法解几何题(方程思想)。引申说明:BC是圆周角的平分线,因此一定会出现等腰三角形ACD; BC是ABD的平分线,而AB又是O的直径。因此,连结OC得等腰三角形BOC,进而观察联想到OC/BD.此题在这里又一次体现了角平分线、等腰三角形、平分线三者的密切关系。同时也体现利用这个“知识板块”思想解题的奥妙。例13、如图:AB是O的直径,C是O上一点,直线DE切O于点C, AB的延长线交ED于点E,CGAB于点G,ADCD于点D, AD交O于点F. HGAGBG = ADDF.(方法一)连结OC,则 延长CG交O于点H. CD2 =DFAD 由得:GB = ADDF .(方法二)连结CB,则由平行线、等腰三角形得到角平分线。 由角平分线性质得:CD=CG. 垂直平分弦定理;相交弦定理;切割线定理;综合得结论。 运用射影定理结合切割线定理,关键还是得先证:1=2;再证:CG = CD.
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