第2章4节等边三角形性质与判定答案Word下载.doc

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1、定义

　　三边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形是特殊的等腰三角形。

　　（注意：

若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）

2、性质

（1）等边三角形的内角都相等，且为60度　　

（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一）　　（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线　　（4）等边三角形是锐角三角形

3、判定

　　（首先考虑判断三角形是等腰三角形）　　

（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）　　

（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形　　（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形　　（4）有两个角等于60度的三角形是等边三角形

【例题经典

等边三角形是特殊的等腰三角形，是证明角相等、线段相等的重要工具．在解答几何问题时，我们若能及时发现或构造等边三角形，则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说明．

一、求角度的大小

例1如图1，AD是等边ABC的中线，在AC上取AE=AD．求EDC的度数．

解析：

因为ABC是等边三角形且AD

是等边ABC的中线，所以AD是C的平

分线和BC边上的高，且CAD=BAD：

30°

。

ADC=90°

．又AE=AD，所以ADE．：

AED=75°

．所以EDC=90°

-75°

=15°

．

点评：

由计算可知。

无论是等边三角形还是等腰三角形，只要满足AD=AE,都有结论EDC=BAD.

二、证明线段相等

例2如图2，已知ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也是等边三角形，除了已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想。

本题是一道开放型探索题，要充分利用等边三角形的相关知识来解答．图中相等的线段有AE=BF=CD，AF=BD=CE．

·

．·

ABC与DEF都是等边三角形，．A=B=C=60°

．EDF=

DEF=EFD=60°

DE=EF=FD．叉∵CED+AEF=120°

．CDE+CED=120度．∴AEF=CDE．同理．得CDE=BFD．∴AEF≌BFD≌△CDE（AAS）．所以AE=BF=CD，AF=BD=CE．

解答时，应根据条件探索相应的结论符合条件的结论往往有多个，需充分利用条件进行合理猜想，发现规律，得出结论。

三、判断三角形的形状

例3如图3，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作PBQ=60°

，且BQ=BP，连接CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系。

并证明你的结论．

（2）若PA：

PB：

PC=3：

4：

5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

（1）通过观察发现，由于AP所在的△ABP与CQ所在的△CBQ的形状相同、大小接近。

那么△ABP与△CBQ有可能全等．所以可以猜想AP=CQ．下面证明这一猜想是否成立．

因为△ABC是等边三角形，

所以AB=CB。

ABC=60°

．所以ABP=60°

-PBC。

由PBQ=60°

，所以CBQ=60°

-PBC．所以ABP=CBQ．

又BP=BQ，

所以△ABP≌△CBQ（SAS），即AP=CQ．

（2）△PQC是直角三角形，理由如下：

因为PA：

5，

所以可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．

因为BQ=BP．PBQ=60°

所以△PBQ是等边三角形．这时PQ=PB=4a．

在△PCQ中，因为PQ=4a，CQ=PA=3a，PC=5a，

所以PQ2+PC2=PC2，

所以△PQC是直角三角形．

四、处理与动点有关的问题

例4如图4，把等边△ABC和等边△BCD拼合在一起，E在AB上移动，F在BD上移动。

且满足AE=BF,试说明不论E、F怎样移动，△ECF总是等边三角形．

因为△ABC和△BCD都是等边三角形。

所以△ABC与△BCD关于BC所在的直线对称；

又BA=BD，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE=BF，所以BE=DF，而CB=CD．

D=CBE=60°

，所以△ECB≌△FCD，所以CE=CF，DCF=

BCE，而DCF+BCF=60°

．即DCE+BCF=60°

则ECF=60°

，所以△ECF为等边三角形．．

这里不能误认为△BCE与△BCF是关于BC对称的两个三角形．

五、计算三角形的周长

例5如图5，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角BDC为120°

的等腰三角形，以D为顶点做一个60°

角，角的两边分别交AB与M，交AC于N，连接MN。

形成一个三角形．求证：

△AMN的周长等于2．

要证明△AMN的周长等于2，由于△ABC的边长为1．实际上所求证的问题是MN=BM+CN．为此，延长AC至E，使CE=BM，只须证明MN=EN即可．于是可证△MDN≌△EDN，从题目条件中很容易发现DN为公共边，

DBC=DCB=30°

，再结合等边三角形的每个内角都是60°

．便可得到ABD=ACD=90°

，而DB=DC，CE=BM．所以△DMB≌△DEC．所以DM=DE．BDM=CDE，由于

MDN=60°

．所以BDM+CDN=60°

，于是CDE+CDN=60°

，即EDN=60°

．所以MDN=EDN，DM=DE。

所以△MDN≌△AEDN．所以MN=EN,从而证得结论．

纵向应用

1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。

2.如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：

GH∥AB。

3.如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

ΔCMN是等边三角形。

4.如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，N为DB的中点，求证：

ΔCMN为等边三角形。

【

5.如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，求证：

ΔABE为等边三角形。

6如图14-53，已知ΔABC是等边三角形D为AC上一点∠1=∠2，BD=CE，求证：

ΔADE是等边三角形。

7.如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。

求证：

ΔMNP是等边三角形。

8.如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>

CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：

ΔEFM是等边三角形。

9.如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：

ΔDEF是等边三角形。

10.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，求∠P。

横向拓展

1.如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:

CPA=5:

6:

7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。

2.如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：

（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？

若能，请求出该三角形各内角的度数；

若不能，请说明理由；

（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直角三角形？

3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。

AMN的周长等于2。

4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。

（1）如果AB=AC，求证：

ΔDEF是等边三角形；

（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？

如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；

如果ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；

（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。

5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。

（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？

（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？

（3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？

（4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？

参考答案等边三角形双基训练

1.7个2.293.提示：

证ΔABD≌ΔBCE，证∠BPG=600

1.EF=2.提示：

证ΔGCH为等边三角形3.提示：

ΔECB≌ΔDCA，ΔECN≌ΔDCM4.略5.提示：

证ΔADE≌ΔBCE6.提示：

证ΔABD≌ΔACE7.略8.略9.提示：

证ΔADE≌ΔEBF10.300。

提示：

连结BD，易证ΔABD≌ΔCBD，再证ΔCDP≌ΔADB

1.2:

3:

4.提示：

将ΔAPC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P′的位置，连结PP′2.

（1）能，500，550，750

（2）1500或10003.提示：

延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。

证ΔMDB≌ΔEDC，ΔMDN≌ΔEDN4.

（1）略

（2）提示：

证∠EDF=600（3）12cm5.（1