第2章4节等边三角形性质与判定答案Word下载.doc

1、1、定义三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。 （注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形） 2、性质（1）等边三角形的内角都相等，且为60度 （2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合（三线合一） （3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线 （4）等边三角形是锐角三角形 3、判定（首先考虑判断三角形是等腰三角形） （1）三边相等的三角形是等边三角形（定义） （2）三个内角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60度的等腰三角形是等边

2、三角形 （4） 有两个角等于60度的三角形是等边三角形 【例题经典等边三角形是特殊的等腰三角形，是证明角相等、线段相等的重要工具在解答几何问题时，我们若能及时发现或构造等边三角形，则往往比较容易找到解题的切人点，现举例说明一、 求角度的大小例1 如图1，AD是等边 ABC的中线，在AC上取AE=AD求 EDC的度数解析：因为 ABC是等边三角形且AD是等边 ABC的中线，所以AD是 C的平分线和BC边上的高，且 CAD= BAD：30。 ADC=90又AE=AD，所以 ADE： AED=75所以 EDC=90-75=15点评：由计算可知。无论是等边三角形还是等腰三角形，只要满足AD=AE,都有

3、结论 EDC= BAD.二、 证明线段相等例2 如图2，已知 ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 DEF也是等边三角形，除了已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等的线段，并证明你的猜想。本题是一道开放型探索题，要充分利用等边三角形的相关知识来解答图中相等的线段有AE=BF=CD，AF=BD= CE ABC与 DEF都是等边三角形， A= B= C= 60 EDF= DEF= EFD= 60,DE= EF= FD叉 CED + AEF= 120 CDE+ CED= 120度 AEF= CDE同理得 CDE= BFD AEF BFD CDE（AAS）所以AE=BF=CD，

4、AF=BD=CE解答时，应根据条件探索相应的结论 符合条件的结论往往有多个，需充分利用条件进行合理猜想，发现规律，得出结论。三、判断三角形的形状例3 如图3，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA 、PB、PC，以 BP为边作 PBQ=60，且BQ=BP，连接CQ（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系。并证明你的结论（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ ，试判断PQC的形状，并说明理由（1）通过观察发现，由于AP所在的ABP与CQ所在的CBQ的形状相同、大小接近。那么ABP与CBQ有可能全等所以可以猜想AP=CQ下面证明这一猜想是否成立因为ABC是等边三角形，所以AB=CB。 AB

5、C=60所以 ABP=60- PBC。由 PBQ=60，所以 CBQ=60- PBC所以 ABP= CBQ又BP=BQ，所以ABPCBQ（SAS），即AP=CQ（2） PQC是直角三角形，理由如下：因为PA：5，所以可设PA=3a，PB=4a，PC=5a因为BQ=BP PBQ=60,所以PBQ是等边三角形这时PQ=PB=4a在PCQ中，因为PQ =4a，CQ=PA=3a，PC= 5a，所以PQ2 +PC2 =PC2 ，所以PQC是直角三角形四、 处理与动点有关的问题例4 如图4，把等边ABC和等边 BCD 拼合在一起，E 在AB上移动，F在BD上移动。且满足 AE=BF, 试说明不论E、F怎样

6、移动，ECF总是等边三角形因为ABC和BCD都是等边三角形。所以ABC与BCD关于BC所在的直线对称；又BA=BD，E在AB上移动，F在BD上移动，且满足AE=BF，所以BE=DF，而CB=CD D= CBE=60， 所以ECBFCD，所以CE= CF， DCF= BCE，而 DCF+ BCF= 60 即 DCE+ BCF=60则 ECF=60，所以ECF为等边三角形 这里不能误认为BCE与BCF是关于BC对称的两个三角形五、 计算三角形的周长例5 如图5，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角 BDC为120的等腰三角形，以D为顶点做一个60角，角的两边分别交AB与M ，交AC于N，连接

7、MN。形成一个三角形求证：AMN的周长等于2要证明AMN的周长等于2，由于ABC的边长为1实际上所求证的问题是MN=BM+CN为此，延长AC至E，使CE=BM， 只须证明MN=EN 即可于是可证MDNEDN，从题目条件中很容易发现DN为公共边， DBC= DCB=30，再结合等边三角形的每个内角都是60便可得到 ABD= ACD=90，而DB=DC，CE =BM所以DMB DEC所以DM =DE BDM= CDE，由于 MDN=60所以 BDM+ CDN=60，于是 CDE+ CDN=60，即 EDN=60所以 MDN= EDN，DM=DE。所以MDN AEDN所以MN = EN, 从而证得结

8、论纵向应用1. 如图14-48，已知等边ABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ACD和BCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GHAB。3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形。4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ACD和CBE，M为AE的中点，N为DB的中点，

9、求证：CMN为等边三角形。【5. 如图14-52，在四边形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边CDE，连结AE，求证：ABE为等边三角形。6如图14-53，已知ABC是等边三角形D为AC上一点1=2，BD=CE，求证：ADE是等边三角形。7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，A+B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。求证：MNP是等边三角形。8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，ABCD，ABCD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，AOB=600，且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：EFM是等边三角形。9

10、. 如图14-56，在ABCD中，ABE和BCF都是等边三角形，求证：DEF是等边三角形。10.如图14-57，已知D为等边ABC内一点，DA=DC，P点在ABC外，且CP=CA，CD平分PCB，求P。横向拓展1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形的三内角之比。2. 如图14-59，点O为等边ABC内一点，AOB=1100，BOC=1350，试问： （1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明理由； （2）如果AOB大小保持不变，那么当BOC等于多少度时，以OA、OB

11、、OC为边的三角形是一个直角三角形？3.如图14-60，已知ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC为1200的等腰三角形，以点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。AMN的周长等于2。4.如图14-61，在ABC中，A=600，BEAC，垂足为E，CFAB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、CF交于点M。 （1）如果AB=AC，求证：DEF是等边三角形； （2）如果ABAC，试猜想DEF是不是等边三角形？如果DEF是等边三角形，请加以证明；如果DEF不是等边三角形，请说明理由； （3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。5.如

12、图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），AON=600。 （1）OP为多少时，AOP为等边三角形？ （2）OP为多少时，AOP为直角三角形？ （3）OP为多少时，AOP为锐角三角形？ （4）OP满足什么条件时，AOP为钝角三角形？参考答案 等边三角形 双基训练1.7个 2.2 9 3.提示：证ABDBCE，证BPG=6001.EF= 2.提示：证GCH为等边三角形 3.提示：ECBDCA，ECNDCM 4.略 5.提示：证ADEBCE 6.提示：证ABDACE 7.略 8.略 9.提示：证ADEEBF 10.300。提示：连结BD，易证ABDCBD，再证CDPADB1.2:3:4. 提示：将APC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P的位置，连结PP 2.（1）能，500，550，750 （2）1500或1000 3.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。证MDBEDC，MDNEDN 4.（1）略 （2）提示：证EDF=600 （3）12cm 5.（1