寒假半角模型Word格式文档下载.docx

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（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF）

结论：

①MN=BM+DN②③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM

（2）对称（翻折）

思路:

分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.（∠B+∠D=且AB=AD）

例题应用：

例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：

①.∠MAN=

②.

③.AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM.

思路同上略.

例2拓展：

在正方形ABCD中，已知∠MAN=，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.

②.求证：

AB=AH.

（提示）

例3.在四边形ABCD中，∠B+∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.求证：

例4，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°

，若BD=5，CE=8，求DE。

例五.请阅读下列材料：

已知：

如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：

把绕点顺时针旋转，得到，连结，

使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

（1）猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？

请说明你的猜想并给予证明．

例6探究：

（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°

，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：

；

（2）如图2，若把

（1）问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°

，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则

（1）问中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在

（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，

如图3所示，其它条件不变，则

（1）问中的结论是否发生变化？

若变化，请给出结论并予以证明..

练习巩固1：

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上的点，且.求证：

EF=BE+DF.

练习巩固2，已知：

正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．

（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？

如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；

（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？

请写出你的猜想，并证明．

练习巩固3

（1）如图，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：

;

（2）如图在四边形中，，分别是边上的点，且，

（1）中的结论是否仍然成立？

不用证明．

（3）如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且，

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请证明；

若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

（4）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．

（1）如图②，若M为AD边的中点，

①△AEM的周长=　6　cm；

②求证：

EP=AE+DP；

（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？

请说明理由．

（5）.如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．

（1）若∠EAF=45º

．求证：

EF=BE+DF．

（2）若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45º

，问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？

图17

（3）已知正方形ABCD的边长为1，如果⊿CEF的周长为2．求∠EAF的度数．

练习巩固4.如图，五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，，求∠BAE

练习巩固5.如图，已知在正方形ABCD中，=45°

，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。

求证：

（1）MN=MB+DN；

（2）点A到MN的距离等于正方形的边长；

（3）的周长等于正方形ABCD边长的2倍；

（4）；

（5）若=20°

，求；

（6）若，求；

（7）；

（8）与是等腰三角形；

（9）。

练习巩固6.在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：

当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．

（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；

此时__________

（2）如图②，当点在边上，且时，猜想

（1）问的两个结论还成立吗？

写出你的猜想并加以证明；

（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________（用表示）

练习巩固7.如图所示，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角为120°

的等腰三角形，以D为顶点作一个60°

的∠MDN，点M，N分别在AB，AC上，求△AMN的周长

练习巩固8.如图，在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求∠BAE+∠DCF为多少度。

巩固练习9、（三新练习册P131）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°

，∠A=∠E=30°

．△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．

（1）①如图2、图3，当∠CDF=0°

或60°

时，AM+CK_______MK（填“>

”，“<

”或“=”）．

②如图4，当∠CDF=30°

时，AM+CK___MK（只填“>

”或“<

”）．

（2）猜想：

如图1，当0°

＜∠CDF＜60°

时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．

图1

图2

图3

图4

（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．

**必会结论--------图形研究正方形半角模型

【例】已知：

正方形，、分别在边、上，且，、分别交于、，连.

一、全等关系

（1）求证：

①；

②；

③平分，平分.

二、相似关系

（2）求证：

③.

（3）求证：

④；

⑤；

⑥.

三、垂直关系

（4）求证：

（5）、和差关系

中考链接----正方形二相关题型--半角模型

1，（2016石景山28）．在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE．

（1）请你在图-1画出△BEM，使得△BEM与△BEC关于直线BE对称；

（2）若边AD上存在一点F，使得AF+CE=EF，请你在图2中探究∠ABF与

∠CBE的数量关系并证明；

（3）在

（2）的条件下，若点E为边CD的三等分点，且CE<

DE，请写出求

cos∠FED的思路．（可以不写出计算结果）．

图1图2备用图

答案

石景山28．

（1）补全图形，如图1所示．

…………………………………1分

（2）与的数量关系：

．………2分

证明：

连接，，延长到，使得，连接…3分

∵四边形为正方形，

∴，．

∴△≌△．

∵，

∴．……………………4分

∴∠=∠．

∴．………………5分

（3）求解思路如下：

a．设正方形的边长为，为，则，；

b．在Rt△中，由,

可得

从而得到与的关系；

c．根据cos∠FED，可求得结果．………7分

2，（2016门头沟28）．在正方形ABCD中，连接BD．

（1）如图1，AE⊥BD于E．直接写出∠BAE的度数．

（2）如图1，在

（1）的条件下，将△AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30°

后得到△AB'

E'

，AB'

与BD交于M，AE'

的延长线与BD交于N．

①依题意补全图1；

②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明．

（3）如图2，E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）

门头沟28．（本小题满分7分）

解：

（1）∠BAE=45°

．…………………………………………………………………1分

（2）①依题意补全图形（如图1）；

………………………………………2分

②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+ND2=MN2．………………3分

证明：

如图1，将△AND绕点A顺时针旋转90°

，得△AFB．

∴∠ADB=∠FBA，∠1=∠3，DN=BF，AF=AN．

∵正方形ABCD，AE⊥BD，

∴∠ADB=∠ABD=45°

．

∴∠FBM=∠FBA+∠ABD

=∠ADB+∠ABD=90°

∴由勾股定理得FB2+BM2=FM2．

∵旋转△ABE得到△AB'

，

∴∠E'

AB'

=45°

∴∠2+∠3=90°

－45°

又∵∠1=∠3，

∴∠2+∠1=45°

即∠FAM=45°

∴∠F