图形变换相似三角形综合应用Word文档格式.doc
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考点一与公共边有关的相似问题
【例1】如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：
①与；
②与；
③与；
④与，其中相似的为（）
A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③
【答案】D
【解析】②，∴，故
【例2】如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【例3】如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：
.
【解析】可通过射影定理转化成证明，证明∽即可.
【例4】如图，中，，于为的中点，的延长线交于．
求证：
．
【答案】∵，为中点，∴，∴，又∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．
【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证：
【解析】，
【例5】如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，
【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴
【巩固】如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，
平分．
【答案】连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，即平分．
【例6】已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：
【解析】∵，∴．又∵，∴，∴，
∵，∴∴，∴，即，∵，∴．
考点二与旋转有关的相似问题
【例7】如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【例8】如图，四边形和均为正方形，求_________.
【答案】连接。
∵，∴
∴∵∴∵
∴∴∴
∴∴
【例9】
（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：
（2）如图2，将
（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：
是否有？
证明你的结论．
【答案】
（1）由，得，故．
（2）由，得，故．
考点三与三角形有关的相似综合题
【例10】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是________．
【解析】设的面积为，则，故．
【例11】如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：
【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形．
如图所示，将平移至位置，则，且，
所以，且，
因此，从而，且．
这说明，且，进而，且．
又因为，于是，所以，
注意到，，故．
【例12】已知：
的高所在直线与高所在直线相交于点．
（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：
；
（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_________；
（3）在
（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．
（1）证明：
∵∴，∴
∵，∴∵，∴
∵，∴∴∵
∴，∴∴，∴
（2）
（3）如图，
∵，∴∵，∴，∴
∵，∴，∴∵∴
∵，由
（2）知，∴∴，
∴为等腰直角三角形∴
分别过，作于点于点∴四边形为矩形
∴∴，∴
∵∴∴
∵∴∵
∴∴∴∴
∵∴∴，∴
考点四与相似有关的动点问题
【例13】如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？
【答案】∵，设，
即，解得（负值已舍去）
设经过后与相似．此时
本题需分两种情况：
（1）当时，
，即，解得
（2）当时，
，即，解得．
综上，当秒或秒时，与相似
【例14】如图，在矩形中，，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间．
（1）当为何值时，为等腰直角三角形？
（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论．
（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似．
（1）当为等腰直角三角形时，，
（2），即四边形的面积为定值．
（3）分2种情况
①当时，，即，解得．
②当时，，即，解得．
综上当或时，以点为顶点的三角形与相似．
【例1】如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°
，过点C作CD⊥AC交AB于点D．若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似，若存在，则DP的长为_________．
B
A
C
D
O
P1
P2
（09年浙江丽江中考试题）
【解析】∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°
－90°
＝30°
∴∠BCD＝∠B，∴DB＝DC．又∵在Rt△ACD中，DC＝AD·
sin30°
＝，∴DB＝．①过点D作DP1∥OC，交BC于点P1，则△P1DB∽△COB，∴＝．∵OB＝OD＋DB＝∴DP1＝·
OC＝×
＝②过点D作DP2⊥AB，交BC于点P2，则△BDP2∽△BCO，∴＝．∵BC＝＝＝3
∴DP2＝·
＝1
【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQ⊥x轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN．连接AN并延长交x轴于点B，连接ON．设OQ＝t，△BMN与△MON相似时，则△BMN的面积为_____________．
M
Q
P
N
y
x
H
图2
（09年甘肃中考试题）
【答案】或
【解析】当0＜t≤1时，如图1．若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．
∴NM＝，BM＝＝．∴S△BMN＝BM·
NM＝×
×
＝．当1＜t＜2时，如图2．
若△BMN∽△MON，则＝．即＝，∴t＝．∴NM＝，BM＝＝．
∴S△BMN＝BM·
＝．
【例3】如图，∠ACB＝90°
，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP＝．将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
（1）当点F在射线CA上时
①求证：
PF＝PE．
②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域．
（2）连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
备用图
F
G
E
（12年中考模拟试题）
【解析】
（1）①证明：
过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，垂足分别为M、N
∵CD是∠ACB的平分线，∴PM＝PN
2
1
由∠PMC＝∠MCN＝∠CNP＝90°
，得∠MPN＝90°
∴∠1＋∠FPN＝90°
∵∠2＋∠FPN＝90°
，∴∠1＝∠2
∴△PMF≌△PNE，∴PF＝PE
②解：
∵CP＝，∴CN＝CM＝1
∵CF＝x，△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝1－x
∴CE＝2－x
∵CF∥PN，∴＝，即＝
∴CG＝
∴y＝＋2－x（0≤x＜1）
（2）当△CEF与△EGP相似时，点F的位置有两种情况：
①当点F在射线CA上时
∵∠GPE＝∠FCE＝90°
，∠1≠∠PEG
∴∠G＝∠1，∴FG＝FE，∴CG＝CE＝CP
在Rt△EGP中，EG＝2CP＝2
5
3
4
②当点F在AC延长线上时
，∠1≠∠2，∴∠3＝∠2
∵∠1＝45°
+∠5，∠1＝45°
+∠2，∴∠5＝∠2
易证∠3＝∠4，可得∠5＝∠4
∴CF＝CP＝，∴FM＝＋1
易证△PMF≌△PNE，∴EN＝FM＝＋1
∴GN＝－1
∴EG＝－1＋＋1＝2
【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，CE是斜边AB上的中线，AB＝10，tanA＝．点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQ⊥CB，交CB延长线于点Q．设EP＝x，BQ＝y．
（1）求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）连接PB，当PB平分∠CPQ时，求PE的长；
（3）过点B作BF⊥AB交PQ于F，当△BEF和△QBF相似时，求x的值．
（2012年上海模拟试题）
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，AB＝10，tanA＝＝
∴AC＝6，BC＝8
∵CE是斜边AB上的中线，∴CE＝BE＝AB＝5
∴∠PCQ＝∠ABC
又∠PQC＝∠ACB＝90°
，∴△PCQ∽△ABC
∴＝＝，即＝
∴y＝x－4（x＞5）
（2）过点B作BH⊥PC于H
∵PB平分∠CPQ，BQ⊥PQ，∴BH＝BQ＝y
∵BH＝BC＝，∴x－4＝
∴x＝11
（3）∵∠BQF＝∠ACB＝90°
，∠QBF＝∠A
∴△BFQ∽△ABC
当△BEF和△QBF相似时，则△BEF和△ABC也相似
有两种情况：
①当∠BEF＝∠A时
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°
，BE＝5，BF＝y
∴（x－4）＝×
5，解得x＝10
②当∠BEF＝∠ABC时
5，解得x＝
∴当△BEF和△QBF相似时，求x的值为10或
【例5】如图1，在Rt△AOC中，AO⊥OC，点B在OC边上，OB＝6，BC＝12，∠ABO＋∠C＝90°
，动点M和N分别在线段AB和AC边上．
（1）求证：
△AOB∽△COA，并求cosC的值；
（2）当AM＝4时，△AMN与△ABC相似，求△AMN与△ABC的面积之比；
（3）如图2，当MN∥BC时，以MN所在直
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