图形变换相似三角形综合应用Word文档格式.doc

1、考点一 与公共边有关的相似问题【例1】 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：与；与；与；与，其中相似的为（ ）A B C D【答案】D【解析】，故【例2】 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ）A B C D【答案】A【例3】 如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【解析】可通过射影定理转化成证明，证明即可.【例4】 如图，中，于为的中点，的延长线交于求证：【答案】，为中点，又，又，又，【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的延长于点，求证：【解析】，【例5】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，

2、交的延长线于，【答案】连接垂直平分，即，又，平分，又，又，【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于，平分【答案】连接，垂直平分，又，即平分【例6】 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：【解析】，又，即，考点二 与旋转有关的相似问题【例7】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已知，则的值为（ ）A B C D 【答案】C【例8】 如图，四边形和均为正方形，求_.【答案】连接。，【例9】 （1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问

3、：是否有？证明你的结论【答案】（1）由，得，故（2）由，得，故考点三 与三角形有关的相似综合题【例10】 如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形若三个三角形的面积分别为，则的面积是_【解析】设的面积为，则，故【例11】 如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与的交点，、分别是与、与、与的交点，如果，求证：【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三角形如图所示，将平移至位置，则，且，所以，且，因此，从而，且这说明，且，进而，且又因为，于是，所以，注意到，故【例1

4、2】 已知：的高所在直线与高所在直线相交于点（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是_；（3）在（2）的条件下，若，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长（1）证明：，（2）（3）如图，由（2）知，为等腰直角三角形分别过，作于点 于点四边形为矩形， ，考点四 与相似有关的动点问题【例13】 如图，中，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【答案】，设，即，解得（负值已

5、舍去）设经过后与相似此时本题需分两种情况：（1）当时，即，解得（2）当时，即，解得综上，当秒或秒时，与相似【例14】 如图，在矩形中，点沿边从点开始向点以秒的速度移动，点沿边以秒的速度从点开始移动，如果同时出发，用（秒）表示移动的时间（1）当为何值时，为等腰直角三角形？（2）求四边形面积，提出一个与计算结果相关的正确结论（3）当为何值时，以点为顶点的三角形与相似（1）当为等腰直角三角形时，（2），即四边形的面积为定值（3）分2种情况当时，即，解得 当时，即，解得综上当或时，以点为顶点的三角形与相似【例1】 如图，已知在等腰ABC中，AB30，过点C作CDAC交AB于点D若过A，D，C三点的圆的

6、半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与BCO相似，若存在，则DP的长为_BACDOP1P2（09年浙江丽江中考试题）【解析】BCDACBACD1209030BCDB，DBDC又在RtACD中，DCADsin30，DB过点D作DP1OC，交BC于点P1，则P1DBCOB，OBODDBDP1OC过点D作DP2AB，交BC于点P2，则BDP2BCO，BC3DP21【例2】 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，2），点P是线段OA上的一个动点（不与O，A重合），过点P作PQx轴于Q，以PQ为边向右作正方形PQMN连接AN并延长交x轴于点B，连接ON设OQt，BMN

7、与MON相似时，则BMN的面积为_MQPNyxH图2（09年甘肃中考试题）【答案】或【解析】当0 t 1时，如图1若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BMNM当1 t 2时，如图2若BMNMON，则即，tNM，BMSBMN BM【例3】 如图，ACB90，CD是ACB的平分线，点P在CD上，CP将三角板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G（1）当点F在射线CA上时求证：PFPE设CFx，EGy，求y与x的函数解析式并写出函数的定义域（2）连接EF，当CEF与EGP相似时，求EG的长备用图FGE（1

8、2年中考模拟试题）【解析】（1）证明：过点P作PMAC，PNBC，垂足分别为M、NCD是ACB的平分线，PMPN21由PMCMCNCNP90，得MPN901FPN902FPN90，12PMFPNE，PFPE解：CP，CNCM1CFx，PMFPNE，NEMF1xCE2xCFPN， ，即 CG y 2x（0 x1）（2）当CEF与EGP相似时，点F的位置有两种情况：当点F在射线CA上时GPEFCE90，1PEGG1，FGFE，CGCECP在RtEGP中，EG2CP2534当点F在AC延长线上时，12，32145+5，145+2，52易证34，可得54CFCP，FM1易证PMFPNE，ENFM1GN

9、1EG1 12【例4】 如图，在RtABC中，ACB90，CE是斜边AB上的中线，AB10，tanA 点P是CE延长线上的一动点，过点P作PQCB，交CB延长线于点Q设EPx，BQy（1）求y关于x的函数关系式及定义域；（2）连接PB，当PB平分CPQ时，求PE的长；（3）过点B作BFAB交PQ于F，当BEF和QBF相似时，求x的值（2012年上海模拟试题）（1）在RtABC中，ACB90，AB10，tanA AC6，BC8CE是斜边AB上的中线，CEBE AB5PCQABC又PQCACB90，PCQABC ，即 y x4（x 5）（2）过点B作BHPC于HPB平分CPQ，BQPQ，BHBQyBH BC ， x4 x11（3）BQFACB90，QBFABFQABC当BEF和QBF相似时，则BEF和ABC也相似有两种情况：当BEFA时在RtEBF中，EBF90，BE5，BF y（ x4） 5，解得x10当BEFABC时5，解得x 当BEF和QBF相似时，求x的值为10或 【例5】 如图1，在RtAOC中，AOOC，点B在OC边上，OB6，BC12，ABOC90，动点M和N分别在线段AB和AC边上（1）求证：AOBCOA，并求cosC的值；（2）当AM4时，AMN与ABC相似，求AMN与ABC的面积之比；（3）如图2，当MNBC时，以MN所在直