四边形中“新定义”型试题探究Word下载.doc

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（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明）．

图4

图2

解:

（1）如图2，连结AC,在AC上任取除AC中点外的点P,点P即为所画点．

（2）如图3，连结BD,作BD的中垂线交直线AC于点P,因点P不是AC的中点,故点P即为所求作点．

（3）如图4，连结DB，在△DCF与△BCE中，∠CDF=∠CBE，∠DCF=∠BCE，CF=CE.∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB,∴∠CDB=∠CBD,∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC,∴点P是四边形ABCD的准等距点.

（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为0个；

②四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．

③当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0个；

④当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

⑤当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个.

评析：

本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念——四边形的准等距点.第

（1）小题是新定义的简单应用.第

（2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；

思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、1、2、无数个.第（3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在

（1）、

（2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第

（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比、联想能力强,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；

思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.

二、以特殊边为契机边进行“新定义”

例2（2007年北京市中考数学试题）我们知道：

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：

至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

图5

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，设CD、BE相交于点O，若∠A=60°

，∠DCB=∠EBC=∠A.请你写出图中一个与∠A相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在△ABC中，如果∠A是不等于60°

的锐角，点D，E分别在AB，AC上，且∠DCB=∠EBC=∠A.探究：

满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.

解：

（1）平行四边形、等腰梯形等.

（2）答：

与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE）.四边形DBCE是等对边四边形.

（3）答：

此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.

证明：

如图5，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点，∴∠F=900=

∠EGC.∵，BC为公共边，∴.∴BF=CG.∵∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB，∠BEC=∠ABE+∠A，∴∠BDF=∠BEC，又∵∠F=

∠EGC，∴，∴BD=CE，∴四边形DBCE是等对边四边形.

此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对边四边形.语言精练,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力.第

（1）小题是新定义的简单应用.第

（2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；

而第二问，易得猜想：

BD=CE，四边形DBCE为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想.由公共边BC,∠DCB=∠EBC=∠A=30°

∠BOD=∠COE=60°

这些条件及要证的猜想BD=CE，不难想到添辅助线的方法：

分别过点B、C作CD、BE的垂线,从而证明自己的猜想.第（3）小题完全可类比第

（2）小题的第二问进行，先证，再证得，继而使问题获得解决；

当然，第（3）小题，也可作∠HCB=∠DBC交BE于点H，构造全等三角形△BDC与△CHB，得BD=CH，再证CH=CE，也可使问题获得解决.

三、以特殊角为契机进行“新定义”

例3（2006年安徽省中考数学试题）如图6，凸四边形ABCD中，如果点P满足∠APD＝∠APB=α.且∠BPC＝∠CPD＝β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．

（l）在图7正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.

（2）在图8四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.

图8

图7

（3）若四边形ABCD有两个半等角点P1、P2（如图9），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.

图6

图9

B′

（1）所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点，即可.

（2）画点B关于AC的对称点B′，延长DB′交AC于点P，点P即为所求的点.

（3）连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根据题意,∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C，∴∠AP1B+∠BP1C=1800,∴P1在AC上，同理，P2也在AC上.在△DP1P2和△BP1P2中

∠DP1P2=∠BP1P2，∠DP2P1=∠BP2P1，∵P1P2=P1P2，∴△DP1P2≌△BP1P2，∴P1D=P1B，P2D=P2B，∴B、D关于AC对称.设P是P1P上任一点，连结PD、PB，由对称性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，∴点P是四边形的半等角点.

此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量、位置关系为契机,创设了一个全新的概念——四边形半等角点.第

（1）小题是新定义的直接应用.第

（2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵,突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC上，且∠DPA=∠BPA，但要画出点P仍不容易；

继续分析，发现∠DPB关于直线AC对称，点B关于AC的对称点B′在DP上，至此，才峰回路转，柳暗花明.第（3）小题要证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点，需先证A、P1、P2、B四点在一直线上，再证线段P1P2上任一点满足条件∠DPA=∠BPA，∠DPC=

∠BPC，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.

四、以特殊对角线为契机进行“新定义”

例4（2006年北京市中考数学试题）我们给出如下定义：

若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：

当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时，这对600角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．

（1）矩形、等腰梯形.

（2）结论：

等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600时,这对600角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长．

A

D

E

F

C

B

O

图11

已知：

四边形中，对角线，交于点，，且．

图10

求证：

．

过点作，在上截取，使．连结，．∴，四边形是平行四边形，∴；

又∵，∴DE=AC=BD，∵∠EDO=600,∴是等边三角形，∴．①当与在同一条直线上时（如图10），则，∴．②当与不在同一条直线上时（如图11），在中，有，∴．综合①、②，得．

即等对角线四边形中两条对角线所夹角为600时，这对600角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．

此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念——等对角线四边形.第

（1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第

（2）小题，语言精练,构思精巧，涉及的知识点不多，但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”.解决此题，可就其特殊情形入手，即当此等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点，从而使特殊情形时问题获证；

对于一般情形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.

五、以特殊位置关系为契机进行“新定义”

例5（2005年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：

如果一个三角形和一个矩形满足条件：

三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图12所示，矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；

（2）如图13，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°

，在图13中画出△ABC的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；

图12

图13

图14

（3）若△ABC是锐角三角形，且BC>

AC>

AB，在图14中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明.

（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：

三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.

（2）此时共有2个友好矩形，如图的矩形BCAD、ABEF.

易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.

（3）此时共有3个友好矩形，如图的矩形BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周长最小.

易知，这三个矩形的面积相等，令其为S.设矩形BCDE、CAFG及ABHK的周长分别为l1，l2