勾股定理经典例题详解Word格式.doc
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方法三：
将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：
.
方法四：
如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边；
2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题；
4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2.在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；
③8、15、17；
④7、24、25；
⑤10、24、26；
⑥9、40、41．
如果（a,b,c）是勾股数，当t>
0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c；
（3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°
，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°
，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°
，c=25，b=15,a=
总结升华：
有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如：
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°
AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°
且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在中，，，.求：
BC的长.
思路点拨：
由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有
，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
作于D，则因，
∴（的两个锐角互余）
∴（在中，如果一个锐角等于，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在中，
.
∴.
利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，，于P.求证：
.
图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.
连结BM，根据勾股定理，在中，
而在中，则根据勾股定理有
∴
又∵（已知），
∴.
在中，根据勾股定理有
，
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°
，∠A=60°
，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
，∠B=90°
，∴∠E=30°
。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·
BE-CD·
DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°
方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°
方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
（1）过B点作BE//AD
∴∠DAB=∠ABE=60°
∵30°
+∠CBA+∠ABE=180°
∴∠CBA=90°
即△ABC为直角三角形
由已知可得：
BC=500m，AB=
由勾股定理可得：
所以
（2）在Rt△ABC中，
∵BC=500m，AC=1000m
∴∠CAB=30°
∵∠DAB=60°
∴∠DAC=30°
即点C在点A的北偏东30°
的方向
本题是一道实际问题，从已知条件出发判断出△ABC是直角三角形是解决问题的关键。
本题涉及平行线的性质和勾股定理等知识。
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：
OC＝1米 （大门宽度一半），
OD＝0.8米 （卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD＝＝＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝ 及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞2.828>
2.732
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）
∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型四：
利用勾股定理作长为的线段
5、作长为、、的线段。
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角。
斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是
、、、。
（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；
（2）取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示的点。
可以把看作是直角三角形的斜边，，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：
猫有四只脚．（正确）
2．原命题：
对顶角相等（正确）
3．原命题：
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