初三几何8旋转4.综合应用(2013-2014)教师Word格式.doc
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∴..
∴.
【例2】在图1至图3中,点是线段的中点,点是线段的中点.四边形和都是
正方形.的中点是.
(1)如图1,点在的延长线上,点与点重合时,点与点重合,求证:
,;
(2)将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:
是等腰直角三角形;
(3)将图2中的缩短到图3的情况,还是等腰直角三角形吗?
(不必说明理由)
【答案】
(1)证明:
∵四边形和都是正方形,
又∵点与点重合,点与点重合,
∴,.
∵,
∴.∴.
(2)证明:
连接、,如图,设与交于点.
∵分别是的中点,
∴,
且,
且.
∴四边形是平行四边形.
又∵,
∴,且.
∴是等腰直角三角形.
(3)是.
【例3】若△ABC和△ADE均为等边三角形,M、N分别是BE、CD的中点.
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时,求证:
CD=BE,△AMN是等边三角形;
(2)如图②,当∠EAB=30°
,AB=12,AD=时,求AM的长.
(11年朝阳二模)
图1图2
∵△ABC和△ADE均为等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=60°
.
∴∠BAE=∠BAC-∠EAC,∠DAC=∠EAD-∠EAC,
∴∠BAE=∠DAC.∴△ABE≌△ACD.
∴CD=BE.∠ABE=∠ACD.
∵M、N分别是BE、CD的中点,即BM=BE,CN=CD.
∴BM=CN.
又AB=AC,
∴△ABM≌△ACN.
∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°
.
∴△AMN是等边三角形
(2)解:
作EF⊥AB于点F,
在Rt△AEF中,
∵∠EAB=30°
,AE=AD=,
∴EF=.∵M是BE中点,作MH⊥AB于点H,
∴MH∥EF,MH=EF=
取AB中点P,连接MP,则MP∥AE,MP=AE.
∴∠MPH=30°
,MP=.
∴在Rt△MPH中,PH=.∴AH=AP+PH=.
在Rt△AMH中,.
中心
【例4】如图,四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形.其中,正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动.
(1)如图1,当四点共线时,四边形的面积为__;
(2)如图2,当三点共线时,请直接写出=_________;
(3)在正方形绕中心旋转的过程中,直线与直线的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想.
图1图2图
(1)==6;
(2)=;
(3).
证明:
连接,延长
交于点.如图所示:
由正方形的性质可知:
,
即:
△≌△
.
中点倍长类旋转
【例5】如图,在△外面作正方形与,为△的高,其反向延长线交于,求证:
(1);
(2)
【答案】证明△≌△;
(1)作,,
先证△≌△,△≌△,
再证△≌△.
【例6】如图,在矩形ABCD中,点F在AD延长线上,且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中
点,点E在直线CF上(点E、C不重合).且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE,试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;
【答案】如图,延长BN交的延长线于点,连结、,过作⊥,
交于点.
∵四边形是矩形,
∴∥.
∴,
∵为的中点,
∴.
∴△≌△.
∴,.
∵,
∴.
∴.
由
(1)得.
∴,.
∴∠=∠.
∴△≌△.
∴,.
∵,
∴⊥.
∵
∴.
【例7】已知任意,分别以为边作,,
(1)如图a,若是以点为直角顶点的等腰三角形,取中点,连接、,求证:
(2)在第
(1)问的条件下,过点做边的垂线,交于点,则
(3)在边上有一动点,连接,以为腰,为直角顶点,作等腰直角三角形,连接,若要使的,求的度数
(3)
【例8】已知:
在Rt△ABC中,AB=BC,在Rt△ADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM.
(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图①,探索BM、DM的关系并给予证明;
(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°
的角,如图②,那么
(1)中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;
如果成立,请给予证明.
【解析】
(1)提示:
直角三角形斜边上的中线;
(2)可用中点倍长即旋转;
亦可用中位线法:
要证与的关系,只需要将构造成线段的中点,辅助线如下图.
【巩固】如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°
点E在AB上,F是线段BD的中点,连结CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连结BD取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连结BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
【解析】倍长即旋转略.第三问亦可用中位线法
【例9】在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,tan∠BAC=.点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD,F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点如图2所示.求证:
BE-DE=2CF;
【解析】倍长即旋转略.第三问亦可用中位线法:
构造辅助线,证.
【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,如图1.
(1)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°
,取DF的中点G,连接EG,CG,如图2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想;
(2)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°
,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明;
(3)将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度,取DF的中点G,连接EG,CG,如图4,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
图1图2图3图4
(1),.
(2),
如图3,延长交延长线于,连接
∵,,,∴四边形是矩形,∴BE=CH,
又∵,∴
∵,,∴
∵,,∴图2
∵,∴,∴
又,∴
∴,∴≌
∵,,,∴
∴
∴,即∴.
图3
(3),
方法一(旋转思想):
如图4,延长至,使,连接、、
∵,,,
∴△≌△
∴,,∴∥
∵正方形,∴,
∵是等腰直角三角形,∴,
∴,,∴,
∴△为等腰直角三角形
方法二(中位线法):
如下图,解析略
利用旋转构造三角形
【例10】在凸四边形中,,,,求证:
【答案】解法1:
将绕点逆时针旋转,得到.
因为,,
故是等边三角形,
即有,
而,
则.
连接,在中,由勾股定理可得,
因此.
解法2:
注意到,
故,
因此.
注意到,,因此.
点评:
通过本题,我们可以体会到,正确的辅助线的产生不仅得益于条件,也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中,再证明与这个直角三角形的斜边相等.
【例11】已知,以为边在外作等腰,其中.
⑴如图①,若,,四边形是平行四边形,则
⑵如图②,若,是等边三角形,,,求的长;
⑶如图③,若为锐角,作于,当时,是否成立?
若不成立,请说明你的理由;
若成立,证明你的结论.
【答案】⑴略;
⑵如图,以为边作等边三角形,连接、,其他略
⑶如图,辅助线虽然相对容易能够知道位置,但是本题比较特殊,或难点在于如何利用给出的已知条件,如何描述辅助线,将直接影响到能否解决本问
下面给出参考方法,注意体会为什么这样做辅助线,而不是像以前的题型一样,为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第⑶问:
(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)
如图,在上取点,使得,连接并延长到点,使得,连接
易证为直角三角形,且,∴也为直角三角形,由勾股定理可得,∴,∵,∴
此时,易证(SSS),则易证
四边形中的旋转
【例12】问题:
如图1,在菱形和菱形中,点、、在同一条直线上,是线段的中点,连结,.若探究与的位置关系及的值.
小聪同学的思路是:
延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.
D
C
G
P
A
B
E
F
图2
图1
请你参考小聪同学的思路