初三几何8旋转4.综合应用(2013-2014)教师Word格式.doc

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∴．．

∴．

【例2】在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是

正方形．的中点是．

（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：

，；

（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：

是等腰直角三角形；

（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？

（不必说明理由）

【答案】

（1）证明：

∵四边形和都是正方形，

又∵点与点重合，点与点重合，

∴，．

∵，

∴．∴．

（2）证明：

连接、，如图，设与交于点．

∵分别是的中点，

∴，

且，

且．

∴四边形是平行四边形．

又∵，

∴，且．

∴是等腰直角三角形．

（3）是．

【例3】若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．

（1）当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：

CD=BE，△AMN是等边三角形；

（2）如图②，当∠EAB=30°

，AB＝12，AD=时，求AM的长．

（11年朝阳二模）

图1图2

∵△ABC和△ADE均为等边三角形，

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°

.

∴∠BAE=∠BAC-∠EAC，∠DAC=∠EAD-∠EAC，

∴∠BAE=∠DAC.∴△ABE≌△ACD.

∴CD=BE.∠ABE=∠ACD．

∵M、N分别是BE、CD的中点，即BM=BE，CN=CD.

∴BM=CN.

又AB=AC，

∴△ABM≌△ACN．

∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠CAB=60°

．

∴△AMN是等边三角形

（2）解：

作EF⊥AB于点F，

在Rt△AEF中，

∵∠EAB=30°

，AE=AD=，

∴EF=.∵M是BE中点，作MH⊥AB于点H，

∴MH∥EF，MH=EF=

取AB中点P，连接MP，则MP∥AE，MP=AE.

∴∠MPH=30°

，MP=．

∴在Rt△MPH中，PH=.∴AH=AP+PH=.

在Rt△AMH中，.

中心

【例4】如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．

（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为__；

（2）如图2，当三点共线时，请直接写出=_________；

（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想．

图1图2图

（1）==6；

（2）=；

（3）．

证明：

连接，延长

交于点.如图所示：

由正方形的性质可知：

，

即：

△≌△

．

中点倍长类旋转

【例5】如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：

（1）；

（2）

【答案】证明△≌△；

（1）作，，

先证△≌△，△≌△，

再证△≌△．

【例6】如图，在矩形ABCD中,点F在AD延长线上，且DF=DC,M为AB边上一点,N为MD的中

点,点E在直线CF上（点E、C不重合）.且若AB=BC,点M、A不重合,BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值,并证明你的结论;

【答案】如图，延长BN交的延长线于点，连结、，过作⊥，

交于点．

∵四边形是矩形，

∴∥．

∴，

∵为的中点，

∴．

∴△≌△．

∴,.

∵，

∴.

∴．

由

（1）得．

∴,．

∴∠=∠．

∴△≌△．

∴,．

∵，

∴⊥.

∵

∴.

【例7】已知任意，分别以为边作，，

（1）如图a，若是以点为直角顶点的等腰三角形，取中点，连接、，求证：

（2）在第

（1）问的条件下，过点做边的垂线，交于点，则

（3）在边上有一动点，连接，以为腰，为直角顶点，作等腰直角三角形，连接，若要使的，求的度数

（3）

【例8】已知：

在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．

（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°

的角，如图②，那么

（1）中的结论是否仍成立？

如果不成立，请举出反例；

如果成立，请给予证明．

【解析】

（1）提示：

直角三角形斜边上的中线；

（2）可用中点倍长即旋转；

亦可用中位线法：

要证与的关系，只需要将构造成线段的中点，辅助线如下图．

【巩固】如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°

点E在AB上，F是线段BD的中点，连结CE、FE.

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问

（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【解析】倍长即旋转略．第三问亦可用中位线法

【例9】在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，tan∠BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点如图2所示．求证：

BE-DE=2CF；

【解析】倍长即旋转略．第三问亦可用中位线法：

构造辅助线，证．

【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．

（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°

，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请直接写出你的猜想；

（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°

，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明；

（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？

请写出你的猜想，并加以证明．

图1图2图3图4

（1），．

（2），

如图3，延长交延长线于，连接

∵，,，∴四边形是矩形，∴BE=CH，

又∵,∴

∵，,∴

∵,，∴图2

∵，∴，∴

又，∴

∴，∴≌

∵，,，∴

∴

∴，即∴．

图3

（3），

方法一（旋转思想）：

如图4，延长至，使，连接、、

∵，，，

∴△≌△

∴,，∴∥

∵正方形，∴，

∵是等腰直角三角形，∴，

∴,，∴,

∴△为等腰直角三角形

方法二（中位线法）：

如下图，解析略

利用旋转构造三角形

【例10】在凸四边形中，，，，求证：

【答案】解法1：

将绕点逆时针旋转，得到.

因为，，

故是等边三角形，

即有，

而，

则.

连接，在中，由勾股定理可得，

因此.

解法2：

注意到，

故，

因此．

注意到，，因此.

点评：

通过本题，我们可以体会到，正确的辅助线的产生不仅得益于条件，也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中，再证明与这个直角三角形的斜边相等．

【例11】已知，以为边在外作等腰，其中．

⑴如图①，若，，四边形是平行四边形，则

⑵如图②，若，是等边三角形，，，求的长；

⑶如图③，若为锐角，作于，当时，是否成立？

若不成立，请说明你的理由；

若成立，证明你的结论．

【答案】⑴略；

⑵如图，以为边作等边三角形，连接、，其他略

⑶如图，辅助线虽然相对容易能够知道位置，但是本题比较特殊，或难点在于如何利用给出的已知条件，如何描述辅助线，将直接影响到能否解决本问

下面给出参考方法，注意体会为什么这样做辅助线，而不是像以前的题型一样，为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第⑶问：

（谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨）

如图，在上取点，使得，连接并延长到点，使得，连接

易证为直角三角形，且，∴也为直角三角形，由勾股定理可得，∴，∵，∴

此时，易证（SSS），则易证

四边形中的旋转

【例12】问题：

如图1，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结,．若探究与的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：

延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

D

C

G

P

A

B

E

F

图2

图1

请你参考小聪同学的思路