初三几何8旋转4.综合应用(2013-2014)教师Word格式.doc

1、 【例2】 在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点四边形和都是 正方形的中点是（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）【答案】（1）证明：四边形和都是正方形，又点与点重合，点与点重合，（2）证明：连接、，如图，设与交于点分别是的中点，且，且四边形是平行四边形又，且是等腰直角三角形（3）是【例3】 若ABC和ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点（1）当ADE绕A点旋转到如图的位置时，求证：CD=BE，AM

2、N是等边三角形；（2） 如图，当EAB=30，AB12，AD=时，求AM的长（11年朝阳二模） 图1 图2ABC和ADE均为等边三角形，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60.BAE=BAC-EAC，DAC=EAD-EAC，BAE=DAC.ABEACD.CD=BE. ABE=ACDM、N分别是BE、CD的中点，即BM=BE，CN=CD.BM= CN.又AB=AC， ABMACNAM=AN，MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=CAB=60AMN是等边三角形（2）解：作EFAB于点F，在RtAEF中，EAB=30，AE=AD=，EF=. M是BE中点，作MHAB于点H，M

3、HEF，MH=EF= 取AB中点P，连接MP，则MPAE，MP=AE.MPH=30，MP=在RtMPH中，PH=.AH=AP+PH=. 在RtAMH中，.中心【例4】 如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为 _；（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _；（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是_,请借助图3证明你的猜想 图1 图2 图（1）=6； （2）=； （3） 证明：连接，延长 交于点.如图所示： 由正方形的性质可知： ，即： 中点倍长类旋转【例5】 如图，在外面作正方

4、形与，为的高，其反向延长线交于，求证：（1）；（2）【答案】证明；（1）作，先证，再证【例6】 如图，在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;【答案】如图，延长BN交的延长线于点，连结、，过作，交于点 四边形是矩形， ， 为的中点， ,. ， . 由（1）得 , = , ， . . 【例7】 已知任意，分别以为边作，（1）如图a，若是以点为直角顶点的等腰三角形，取中点，连接、，求证：（2）在第（1）问的条

5、件下，过点做边的垂线，交于点，则（3）在边上有一动点，连接，以为腰，为直角顶点，作等腰直角三角形，连接，若要使的，求的度数（3）【例8】 已知：在RtABC中，AB=BC，在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明；（2）如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明 【解析】（1）提示：直角三角形斜边上的中线；（2）可用中点倍长即旋转；亦可用中位线法：要证与的关系，只需要将构造成线段的中点，辅助线

6、如下图【巩固】如图1，在ACB和AED中，AC=BC，AE=DE，ACBAED90,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由 【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法【例9】 在RtABC中，ACB=90，tanBAC

7、=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点如图2所示求证：BE-DE=2CF；【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法：构造辅助线，证【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，如图1（1）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转90，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；（2）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转180，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加

8、以证明；（3）将图1中的BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明 图1 图2 图3 图4（1）， （2），如图3，延长交延长线于，连接，,，四边形是矩形，BE=CH，又,，,， 图2 ， 又， ，,，即图3（3），方法一（旋转思想）：如图4，延长至，使，连接、 ， ,，正方形，是等腰直角三角形，,，,为等腰直角三角形方法二（中位线法）：如下图，解析略利用旋转构造三角形【例10】 在凸四边形中，求证：【答案】解法1：将绕点逆时针旋转，得到.因为，故是等边三角形，即有，而，则.连接，在中，由勾股

9、定理可得，因此.解法2：注意到，故，因此注意到，因此.点评：通过本题，我们可以体会到，正确的辅助线的产生不仅得益于条件，也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中，再证明与这个直角三角形的斜边相等【例11】 已知，以为边在外作等腰，其中如图，若，四边形是平行四边形，则如图，若，是等边三角形，求的长；如图，若为锐角，作于，当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论【答案】略；如图，以为边作等边三角形，连接、，其他略如图，辅助线虽然相对容易能够知道位置，但是本题比较特殊，或难点在于如何利用给出的已知条件，如何描述辅助线，将直接影响到能否解决本问下面给出参考方法，注意体会为什么这样做辅助线，而不是像以前的题型一样，为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第问：（谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨）如图，在上取点，使得，连接并延长到点，使得，连接易证为直角三角形，且，也为直角三角形，由勾股定理可得，此时，易证（SSS），则易证四边形中的旋转【例12】 问题：如图1，在菱形和菱形中，点、在同一条直线上，是线段的中点，连结,若探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2图1 请你参考小聪同学的思路