1、 【例2】 在图1至图3中,点是线段的中点,点是线段的中点四边形和都是 正方形的中点是(1)如图1,点在的延长线上,点与点重合时,点与点重合,求证:,;(2)将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角,得到图2,求证:是等腰直角三角形;(3)将图2中的缩短到图3的情况,还是等腰直角三角形吗?(不必说明理由)【答案】(1)证明:四边形和都是正方形,又点与点重合,点与点重合,(2)证明:连接、,如图,设与交于点分别是的中点,且,且四边形是平行四边形又,且是等腰直角三角形(3)是【例3】 若ABC和ADE均为等边三角形,M、N分别是BE、CD的中点(1)当ADE绕A点旋转到如图的位置时,求证:CD=BE,AM
2、N是等边三角形;(2) 如图,当EAB=30,AB12,AD=时,求AM的长(11年朝阳二模) 图1 图2ABC和ADE均为等边三角形,AB=AC,AE=AD,BAC=EAD=60.BAE=BAC-EAC,DAC=EAD-EAC,BAE=DAC.ABEACD.CD=BE. ABE=ACDM、N分别是BE、CD的中点,即BM=BE,CN=CD.BM= CN.又AB=AC, ABMACNAM=AN,MAB=NAC NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=CAB=60AMN是等边三角形(2)解:作EFAB于点F,在RtAEF中,EAB=30,AE=AD=,EF=. M是BE中点,作MHAB于点H,M
3、HEF,MH=EF= 取AB中点P,连接MP,则MPAE,MP=AE.MPH=30,MP=在RtMPH中,PH=.AH=AP+PH=. 在RtAMH中,.中心【例4】 如图,四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形其中,正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动(1)如图1,当四点共线时,四边形的面积为 _;(2)如图2,当三点共线时,请直接写出= _;(3)在正方形绕中心旋转的过程中,直线与直线的位置关系是_,请借助图3证明你的猜想 图1 图2 图(1)=6; (2)=; (3) 证明:连接,延长 交于点.如图所示: 由正方形的性质可知: ,即: 中点倍长类旋转【例5】 如图,在外面作正方
4、形与,为的高,其反向延长线交于,求证:(1);(2)【答案】证明;(1)作,先证,再证【例6】 如图,在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上,且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中点, 点E在直线CF上(点E、C不重合).且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE,试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;【答案】如图,延长BN交的延长线于点,连结、,过作,交于点 四边形是矩形, , 为的中点, ,. , . 由(1)得 , = , , . . 【例7】 已知任意,分别以为边作,(1)如图a,若是以点为直角顶点的等腰三角形,取中点,连接、,求证:(2)在第(1)问的条
5、件下,过点做边的垂线,交于点,则(3)在边上有一动点,连接,以为腰,为直角顶点,作等腰直角三角形,连接,若要使的,求的度数(3)【例8】 已知:在RtABC中,AB=BC,在RtADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,探索BM、DM的关系并给予证明;(2)如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角,如图,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明 【解析】(1)提示:直角三角形斜边上的中线;(2)可用中点倍长即旋转;亦可用中位线法:要证与的关系,只需要将构造成线段的中点,辅助线
6、如下图【巩固】如图1,在ACB和AED中,AC=BC,AE=DE,ACBAED90,点E在AB上, F是线段BD的中点,连结CE、FE.(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);(2)将图1中的AED绕点A顺时针旋转,使AED的一边AE恰好与ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连结BD取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;(3)将图1中的AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连结BD,取BD的中点F,问(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由 【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法【例9】 在RtABC中,ACB=90,tanBAC
7、=. 点D在边AC上(不与A,C重合),连结BD,F为BD中点.若将图1中的ADE绕点A旋转,使得D、E、B三点共线,点F仍为BD中点如图2所示求证:BE-DE=2CF;【解析】倍长即旋转略第三问亦可用中位线法:构造辅助线,证【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EFAB交BD于点F,如图1(1)将图1中的BEF绕点B逆时针旋转90,取DF的中点G,连接EG,CG,如图2,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想;(2)将图1中的BEF绕点B逆时针旋转180,取DF的中点G,连接EG,CG,如图3,则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加
8、以证明;(3)将图1中的BEF绕点B逆时针旋转任意角度,取DF的中点G,连接EG,CG,如图4,则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明 图1 图2 图3 图4(1), (2),如图3,延长交延长线于,连接,,,四边形是矩形,BE=CH,又,,,, 图2 , 又, ,,,即图3(3),方法一(旋转思想):如图4,延长至,使,连接、 , ,,正方形,是等腰直角三角形,,,,为等腰直角三角形方法二(中位线法):如下图,解析略利用旋转构造三角形【例10】 在凸四边形中,求证:【答案】解法1:将绕点逆时针旋转,得到.因为,故是等边三角形,即有,而,则.连接,在中,由勾股
9、定理可得,因此.解法2:注意到,故,因此注意到,因此.点评:通过本题,我们可以体会到,正确的辅助线的产生不仅得益于条件,也得益于结论的启发.本题正是先利用旋转变换将与置于一个直角三角形中,再证明与这个直角三角形的斜边相等【例11】 已知,以为边在外作等腰,其中如图,若,四边形是平行四边形,则如图,若,是等边三角形,求的长;如图,若为锐角,作于,当时,是否成立?若不成立,请说明你的理由;若成立,证明你的结论【答案】略;如图,以为边作等边三角形,连接、,其他略如图,辅助线虽然相对容易能够知道位置,但是本题比较特殊,或难点在于如何利用给出的已知条件,如何描述辅助线,将直接影响到能否解决本问下面给出参考方法,注意体会为什么这样做辅助线,而不是像以前的题型一样,为什么按照其他的辅助线的作法不能解决第问:(谁有更好的方法欢迎在论坛发帖探讨)如图,在上取点,使得,连接并延长到点,使得,连接易证为直角三角形,且,也为直角三角形,由勾股定理可得,此时,易证(SSS),则易证四边形中的旋转【例12】 问题:如图1,在菱形和菱形中,点、在同一条直线上,是线段的中点,连结,若探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是:延长交于点,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决DCGPABEF图2图1 请你参考小聪同学的思路
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