全国初中数学联赛江西省初赛试题含答案Word文档格式.doc

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．

解：

当时，与皆为质数，而，

都是质数；

当质数异于时，则被除余，设，于是，

，它们都不是质数，与条件矛盾！

、化简的结果是（）．

、；

、；

、；

、．

；

，

因此，原式．

、的末位数字是（）．

、；

的末位数字按的顺序循环，而的末位数字按的顺序循环，

因为是形状的数，所以的末位数字是，而的末位数字是，

所以的末位数字是．

、方程的解的情况是（）.

、无解；

、恰有一解；

、恰有两个解；

、有无穷多个解．

.

将方程变形为…①，分三种情况考虑，

若，则①成为，即，得；

若，即时，则①成为，即，这是一个恒等式，满足的任何都是方程的解，结合以上讨论，可知，方程的解是满足的一切实数，即有无穷多个解．

、正六边形被三组平行线划分成小的正三角形，则图中全体正三角形的个数是（）．

分类计算：

设正六边形的边长为，那么，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，边长为的正三角形有个，

共计个．

、设为整数，并且一元二次方程有等根，

而一元二次方程有等根；

那么，以为根的整系数一元二次方程是（）．

、；

、．

由两个方程的判别式皆为，有，以及

，即：

以及，消去得，，其整根为，

于是；

因此两个方程分别是：

及，

前一方程的等根为，后一方程的等根为，易得，以为根的整系数一元二次方程是．

二、填空题（每小题分，共分）

、直角三角形的三条边长分别为，若将其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于．

的面积为，又设其内切圆的半径为，则由

，所以，因此内切圆面积为，故剩下部分的面积为．

、若，

则（　　）．

（）．

由，，，解得，；

因此．

、如图，正方形的边长为，是边外的一点，满足：

∥，，

则．

解:

，设，则，，

，由∽，得，

即有，所以，，则，

再由，即，所以．

、绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是的倍数，用表示圆周上所有十二个数的和，那么数所有可能的取值情况有种．

种．

对于圆周上相邻的三个数，可以是，或，或，例如，当三数和为时，可以取或或；

又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为，由于和都是的倍数，那么必有，于是与或者相等，或者相差；

又在圆周上，与可互换，与可互换；

现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是，或，或，因此四段的总和可以取到中的任一个值，总共九种情况．

（其中的一种填法是：

先在圆周上顺次填出十二个数：

，其和为，然后每次将一个改成，或者将一个改成，每一次操作都使得总和增加，而这样的操作可以进行八次）．

第二试

一、（分）试确定，对于怎样的正整数，方程有正整数解？

并求出方程的所有正整数解．

将方程改写为，…………5’

由于表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：

……10’

所以，

…①，或…②

…③，或…④…………15’

由①得（当或）；

由②得（当或）；

由③得（当或）；

或（当或）；

由④得（当）；

或（当或）．…………20’

二、（分）锐角三角形的外心为，外接圆半径为，延长，分别与对边交于；

证明：

证：

延长交于，由于共点，

…………5’

则…①…………10’

而，…………15’

同理有,

，…………20’

代入①得，…②

所以．…………25’

三、（分）设为正整数，证明：

1、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积；

2、如果是两个连续正整数的乘积，那么也是两个连续正整数的乘积．

1、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，……5’则为两个连续正整数的乘积；

…………10’

2、如果是两个连续正整数的乘积，设，其中为正整数，则…①…………15’

于是，是的倍数，且是奇数；

设，由①得，

…②…………20’

因此，

，即，它是两个连续正整数的乘积．……25’

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