二次函数中平行四边形通用解决方法Word格式.doc

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②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标。

以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类题．

1两个结论，解题的切入点

数学课标，现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，也没有平行四边形的顶点坐标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。

1.1线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为（x1,y1），点B坐标为（x2,y2），则线段AB的中点坐标为（,）.

图1

证明：

如图1，设AB中点P的坐标为（xP,yP）.由xP-x1=x2-xP，得xP=，同理yP=，所以线段AB的中点坐标为（,）.

1.2平行四边形顶点坐标公式

图2

□ABCD的顶点坐标分别为A（xA,yA）、B（xB,yB）、C（xC,yC）、D（xD,yD），则：

xA+xC=xB+xD；

yA+yC=yB+yD.

证明：

如图2，连接AC、BD，相交于点E．

∵点E为AC的中点，

∴E点坐标为（,）.

又∵点E为BD的中点，

图3

∴xA+xC=xB+xD；

yA+yC=yB+yD.

即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．

2一个基本事实，解题的预备知识

如图3，已知不在同一直线上的三点A、B、C，在平面内另找一个点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：

以AB为对角线的□ACBD1，以AC为对角线的□ABCD2，以BC为对角线的□ABD3C．

3两类存在性问题解题策略例析与反思

3.1三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题

例1已知抛物线y=x2-2x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点为M.直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N.

（1）填空：

试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（）,N（）；

（2）如图4，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；

（3）在抛物线y=x2-2x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，试说明理由.

解：

（1）M（1,a-1），N（,-）；

（2）a=-；

S四边形ADCN=；

（3）由已知条件易得A（0,a）、C（0,-a）、N（,-）.设P（m,m2-2m+a）.

①当以AC为对角线时，由平行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出），得：

图4

∴.

∴P1（,-）；

②当以AN为对角线时，得:

∴（不合题意，舍去）.

③当以CN为对角线时，得:

∴P2（-,）.

∴在抛物线上存在点P1（,-）和P2（-,），使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形.

反思：

已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公式列方程（组）求解.这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论.

3.2两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题

图5

例2如图5，在平面直角坐标系中，抛物线A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-1）三点.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为

顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点P的坐标.

解：

（1）易求抛物线的表达式为y=；

（2）由题意知点Q在y轴上，设点Q坐标为（0,t）；

点P在抛物线上，

设点P坐标为（m,）.

尽管点Q在y轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．

①当以AQ为对角线时，由四个顶点的横坐标公式得：

-1+0=3+m，

∴m=-4，∴P1（-4,7）；

②当以BQ为对角线时，得：

-1+m=3+0，∴m=4，∴P2（4,）；

③当以AB为对角线时，得：

-1+3=m+0，∴m=2，∴P3（2,-1）.

综上，满足条件的点P为P1（-4,7）、P2（4,）、P3（2,-1）.

这种题型往往特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某一定直线上．设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式；

若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式．该动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式．本例中点Q的纵坐标t没有用上，可以不设．另外，把在定直线上的动点看成一个定点，这样就转化为三定一动了，分别以三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论.

例3如图6，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）,B（0,-4）,C（2,0）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．

（1）易求抛物线的解析式为y=x2+x-4；

（2）s=-m2-4m（-4<

m<

0）；

s最大=4（过程略）；

（3）尽管是直接写出点Q的坐标，这里也写出过程．由题意知O（0,0）、B（0,-4）.

由于点Q是直线y=-x上的动点，设Q（s,-s），把Q看做定点；

设P（m,m2+m-4）.

①当以OQ为对角线时，

图6

∴s=-2.

∴Q1（-2+,2-），Q2（-2-,2+）；

②当以BQ为对角线时，

∴s1=-4，s2=0（舍）.

∴Q3（-4,4）；

③当以OB为对角线时，

∴s1=4，s2=0（舍）.

∴Q4（4,-4）.

综上，满足条件的点Q为Q1（-2+,2-）、Q2（-2-,2+）、Q3（-4,4）、Q4（4,-4）.

该题中的点Q是直线y=-x上的动点，设动点Q的坐标为（s,-s），把Q看做定点，就可根据平行四边形顶点坐标公式列方程组了.

4问题总结

这种题型，关键是合理有序分类：

无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程（组）．这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广．其本质是用代数的方法解决几何问题，体现的是分类讨论思想、数形结合的思想.

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根（OA<

0B），动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；

同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．

（1）求A、B两点的坐标。

（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．

（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?

若存在，请直接写出M点的坐标；

若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；

（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？

若存在，求点N的坐标；

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：

y=﹣x2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

（1）求抛物线解析式及C点坐标．

（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．

（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，直接写出P点坐标；

不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；

（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，试说明理由．

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