乘法公式(基础)知识讲解Word下载.doc

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抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：

既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：

（1）位置变化：

如利用加法交换律可以转化为公式的标准型

（2）系数变化：

如

（3）指数变化：

（4）符号变化：

（5）增项变化：

（6）增因式变化：

要点二、完全平方公式

完全平方公式：

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：

公式特点：

左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

要点三、添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.

要点四、补充公式

；

；

.

【典型例题】

类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?

能用平方差公式计算的，写出计算结果．

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）．

【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.

【答案与解析】

解：

（2）、（3）、（4）、（5）可以用平方差公式计算，

（1）、（6）不能用平方差公式计算．

（2）＝－＝．

（3）＝－＝．

（4）＝－＝．

（5）＝－＝．

【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．

举一反三：

【变式】计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】

解：

（1）原式．

（2）原式．

（3）原式．

2、计算：

（1）59.9×

60.1；

（2）102×

98．

（1）59.9×

60.1＝（60－0.1）×

（60＋0.1）＝＝3600－0.01＝3599.99

98＝（100＋2）（100－2）＝＝10000－4＝9996．

【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式（两数）的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．

【变式】

（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：

（1）1232﹣124×

122

（2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b）

122

=1232﹣（123+1）（123﹣1）

=1232﹣（1232﹣1）

=1232﹣1232+1

=1；

=（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2）

=（4a2﹣b2）（4a2+b2）

=（4a2）2﹣（b2）2

=16a4﹣b4．

类型二、完全平方公式的应用

3、计算：

（2）；

（3）；

（4）．

【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.

（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【总结升华】

（1）在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：

当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．

（2）注意之间的转化．

4、（2015春•吉安校级期中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形．

（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　　．

（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；

（3）观察图b，利用

（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn；

（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：

已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．

（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；

（2）方法①：

（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2；

方法②：

（m+n）2﹣4mn；

（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；

（4）由（3）得：

（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，

∵a+b=7，ab=5，

∴（a﹣b）2=72﹣4×

5

=49﹣20

=29．

【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．

5、已知，＝12．求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案与解析】

（1）∵＝－＝－3＝－3×

12＝13．

（2）∵＝－4＝－4×

12＝1.

【总结升华】由乘方公式常见的变形：

①－＝4；

②＝－2＝＋2．解答本题关键是不求出的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．

【变式】已知，，求和的值．

由，得；

①

由，得．②

①＋②得，∴．

①－②得，∴．

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