高考数学一轮复习专题61数列的概念与简单表示法讲文档格式.docx

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要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：

要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

等差数列

　√

等比数列

　√　

【直击考点】

题组一　常识题

1．数列1，－，，－，…的一个通项公式是__________________．

2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋（n≥2），则a5＝________．

【解析】由题意可知，a1＝1，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝，a5＝1＋＝.

3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋3，则数列{an}是________数列（填“递增”或“递减”）．

【解析】由数列{an}的通项公式，得an＋1－an＝[2（n＋1）＋3]－（2n＋3）＝2>

0，所以{an}是递增数列．

题组二　常错题

4．已知数列{an}的通项公式为an＝，则该数列的第5项是________．

【解析】由数列{an}的通项公式为an＝，得a5＝＝＝，即数列{an}的第5项是.

5．已知数列，，2，，…，则2是该数列的第________项．

【解析】∵a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，∴a5＝，a6＝，a7＝＝2，即2是该数列的第7项．

6．已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为______________．

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3×

12－2×

1＋1＝2；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3（n－1）2－2（n－1）＋1]＝6n－5.

显然当n＝1时，不满足上式，故数列{an}的通项公式为an＝

7．设函数f（x）＝数列{an}满足an＝f（n），n∈N*，且数列{an}是递增数列，该实数a的取值范围是________．

【解析】∵数列{an}是递增数列，且an＝f（n），n∈N*，∴⇒2<

a<

3.

题组三　常考题

8．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________．

9．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________．

【解析】由题易知a8＝＝2，得a7＝；

a7＝＝，得a6＝－1；

a6＝＝－1，得a5＝2，于是可知数列{an}具有周期性，且周期为3，所以a1＝a7＝.

10．设数列{an}满足a1＝0，且an－an－1＝n（n≥2），则数列{an}的通项公式为____________.

【解析】由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2），以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝（n≥2）．因为a1＝0满足上式，所以an＝.

【知识清单】

考点1数列的基本概念,由数列的前几项求数列的通项公式

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.

对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

2．数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

其中n∈N＋

递减数列

常数列

按其他标准分类

有界数列

存在正数，使

摆动数列

的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…

3．数列是一种特殊的函数

数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

4.数列的通项公式：

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.

考点2由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项

1.数列的前项和：

2．数列的前项和和通项的关系：

考点3由递推公式推导通项公式

如果已知数列{an}的首项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．

考点4数列的性质的应用

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．

【考点深度剖析】

江苏新高考对数列知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、不等式、平面解析几何知识结合考查.

【重点难点突破】

【题组全面展示】

【1-1】数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于________．

【答案】32

【1-2】已知函数满足：

，则的值为_______．

【答案】

【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值从第二次开始后一个式子的右端值等于前一个式子的值与自变量的值加1的和，，．

【1-3】已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为.

【答案】.

【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式.

【1-4】已知数列的前几项为9,99,999,9999，…，则数列的一个通项公式为.

【解析】这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式.

【1-5】按数列的排列规律猜想数列，，，，…的第10项是_______．

【答案】－

综合点评：

根据数列的前几项求数列的通项公式,做这一类题需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:

分式中分子,分母的特征;

相邻项的变化特征;

拆项后的特征;

各项符号特征.并以此进行归纳,联想.

根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含著“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证，对于正负符号变化，可用或来调整．

【方法规律技巧】

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.

3.对于数列的通项公式要掌握：

①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；

②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

【新题变式探究】

【变式一】将石子摆成如图的梯形形状．称数列为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第项与的差，即_______．

【变式二】已知数列{an}中，对于任意若对于任意正整数，在数列中恰有个出现，则．

【解析】由题意数列就是如图数阵.确定的值，就是确定数列第个数在数阵中第几行.因为所以在数阵中第行，所以

【综合点评】试题一是一个根据定义求数列的通项公式，做这一类题要注意观察每一项的特点，观察出项与之间的关系、规律，从而得数列的通项公式.试题二是一个根据数列的规律找通项公式，可根据数列的变化规律，找出在数阵中的位置，从而可求出的值.

【2-1】已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1（n∈N*），则a5＝_______．

【答案】16

【解析】当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1，∴a1＝1，

又Sn－1＝2an－1－1（n≥2），∴Sn－Sn－1＝an＝2（an－an－1）．

∴＝2.∴an＝1×

2n－1，∴a5＝24＝16.

【2-2】数列的前项和为不等于的常数），则_______.

【解析】由可得当时，，

∴，∴∵∴，∵，

∴是公比为的等比数列．

又当时，，∴，∴．

【2-3】已知数列的前n项和为Sn＝3n－1，则它的通项公式为an＝________.

【答案】2·

3n－1

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－（3n－1－1）＝2·

3n－1；

当n＝1时，a1＝S1＝2也满足an＝2·

3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝2·

3n－1.

【2-4】已知数列的前项和，则_______.

【解析】时，，时，，将代入得，所以.

【2-5】数列满足,则.

这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：

当时，若适合，则的情况可并入时的通项；

当时，若不适合，则用分段函数的形式表示．

已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：

（1）先利用求出；

（2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；

如果不符合，则应该分与两段来写．

【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.

【变式一】数列{an}满足：

a1＋3a2＋5a3＋…＋（2n－1）·

an＝（n－1）·

3n＋1＋3（n∈N*），则数列{an}的通项公式________.

【答案】3n

【解析】a1＋3a2＋5a3＋…＋（2n－3）·

an－1＋（2n－1）·

3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋（2n－3）·

an－1＝（n－2）·

3n＋3，两式相减得an＝3n.

【变式二】已知a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝9－6n，则数列{an}的通项公式________．

【综合点评】这两个题都是与的关系求通项型，利用转化，解决递推公式为与的关系式：

数列{an}的前项和与通项的关系，通过纽带：

，根据题目求解特点，消掉一个或然后再进行构造成等差或者等比数列进行求解．如需消掉，可以利用已知递推式，把换成（）得到新递推式，两式相减即可．若要消掉，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式即可．不论哪种形式，需要注意公式成立的条件.

【3-1】已知数列满足，则_______．

【答案】192

【解析】∵，∴，∴，，，又因为，所以，

【3-2】已知数列满足，则数列的通项公式.

【3-3】已知数列满