小学奥数格点型面积Word格式.docx

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面积等于2平方厘米的三角形有多少个?

【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个.面积等于2平方厘米的三角形有8个.

（1面积等于1平方厘米的分类统计如下:

①②③

底为2,高为1底为2,高为1底为1,高为23×

2=6（个3×

2=6（个

④⑤⑥

底为1,高为2底为2,高为1底为1,高为23×

2=6（个2×

2=4（个2×

2=4（个所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:

6+6+6+6+4+4=32（个.（2面积等于2平方厘米的分类统计如下:

3×

2=6（个1×

2=2（个

所以,面积等于2平方厘米的三角形的个数有:

6+2=8（个.

【例2】如图,44⨯的方格纸上放了16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个.

【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形（如右图.

11⨯的正方形:

9个;

22⨯的正方形:

4个;

33⨯的正方形:

1个;

以11⨯正方形对角线为边长的正方形:

以12⨯长方形对角线为边长的正方形:

2个.故可以组成9414220++++=（个正方形.

【例3】判断下列图形哪些是格点多边形?

⑴

⑵⑶

【解析】

根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段,顶点要在格点上!

所以只有⑴是格点多边形.

【例4】如图,计算各个格点多边形的面积.

【解析】本题所给的图形都是规则图形,它们的面积运用公式直接可求,只要判断出相应的有关数据就行了.方法一:

图⑴是正方形,边长是4,所以面积是4416

⨯=（面积单位;

图⑵是矩形,长是5,宽是3,所以面积是5315

图⑶是三角形,底是5,高是4,所以面积是5

4210

⨯÷

=（面积单位;

图⑷是平行四边形,底是5,高是3,所以面积是5315

图⑸是直角梯形,上底是3,下底是5,高是3,所以面积是353212

+⨯÷

=

（（面积单位;

图⑹

是梯形,上底是3,下底是6,高是4,所以面积是364218

（（面积单位.【巩固】如果两格点之间的距离是2,能利用刚计算的结果说出相应面积么?

（教师总结:

面积数值均扩大4倍.

方法二:

以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外,我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发,即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求.这一种方法很重要,在下面的题目中我们还将使用这种方法!

如图⑶,我们利用“扩展法”将其转化,如图所示,从图中易知三角形面积是长方形面积的一半.

如图⑷,我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边,转化成一个长方形,从中易得平行四边形面积.同理,图⑸、⑹也可利用同样的思想.

【例5】如图（a,计算这个格点多边形的面积.

【解析】方法一（扩展法.这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:

这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形,如下右图（b,这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.矩形面积是6424

⨯=;

直角三角形Ⅰ的面积是:

6226

=;

直角三角形Ⅱ的面积是:

4224

直角三角形Ⅲ面积是4224

所求三角形的面积是2464410

-++=

（（面积单位.

方法二（割补法.将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形,如（c图.因此三角形的面积是:

52252210

=（面积单位.

【例6】（“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积.

【解析】扩展法.把所求三角形扩展成正方形ABCD中.这个正方形中有四个三角形:

一个是要求的AEF;

另外三个分别是:

ABE、FEC、DAF,它们都有一条边是水平放置的,易求它们的面积分别为2

1.5cm,2

2cm,2

1.5cm.所以,图中阴影部分的面积为:

331.5224

⨯-⨯+=

（（2

cm.

【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积.

⑴⑵

【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位.⑵的面积均为10面

积单位.

【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢?

”“格点多边形内部的格点数和周界上的

格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢?

”下面我们就来探讨一下!

在巩固中,我们发现两个图形面积相等.进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个;

第二个图形边界上的格点数是10个,包含在图形内的格点数也相等,都是6个.

【巩固】求下列各个格点多边形的面积.

⑵

⑷

⑶

【解析】⑴∵12L=;

10N=,∴12

11011522LSN=+

-=+-=（面积单位;

⑵∵10L=;

16N=,∴10

11612022LSN=+-=+-=（面积单位;

⑶∵6L=;

12N=,∴6

11211422LSN=+-=+-=（面积单位;

⑷∵10L=;

13N=,∴10

11311722

LSN=+-=+-=（面积单位.

用N表示多边形内部格点,L表示多边形周界上的格点,S表示多边形面积,请同学们分析前几个例

题的格点数.

1

2

【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?

【解析】图形内部格点数9N=;

图形边界上的格点数20L=;

根据毕克定理,则1182

SN=+

-=（单位面积.

【例9】右图是一个812⨯面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.

-.

F

DBA

【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=

+÷

-+⨯+÷

-⨯=++=（（（面积单位.

【例10】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?

19.

所以图形的面积为:

54192162.5+÷

-=（面积单位.

【巩固】如图,每一个小方格的面积都是1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?

【解析】方法一:

正方形格点阵中多边形面积公式:

（N+

-1×

单位正方形面积,其中N为图形内格点数,L为图形周界上格点数.

有N=4,L=7,则用粗线围成图形的面积为:

（4+

7

1=6.5（平方厘米方法二:

如右上图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,

有①=3÷

2=1.5,②=2÷

2=1,③=2÷

2=1,④=2÷

2=1,⑤=2÷

2=l,⑥=2÷

2=1,还有三个小正方形,所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l+1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为:

16-9.5=6.5平方厘米.

【例11】（“小学数学奥林匹克”竞赛试题55⨯的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点

称为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是平方厘米.

【解析】为了使这7个点围成最大的面积,这7个点应尽量在正方形的边或顶点上,如图选取7个点,围成

面积最大.最大面积为550.5323.5⨯-⨯=（平方厘米.

【例12】（“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21

日开幕,下面的图形中,每一个小方格的面积是1,那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少?

【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：

数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：

2+15¸

2-1=8.5；

2所占的面积为：

24¸

2-1=11；

1所占的面积为：

17¸

2-1=7.5．所以，这三个数字所占的面积之和为：

8.5+11+7.5=27．【例13】（第六届“从小爱数学”邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现2将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分（块状面积为5.12cm，右下角的阴影部分（线状面积为7.4cm2，求大正方形的面积．【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个19方格的面积是（7.4-5.12）（¸

17-14）=（cm2）25大正方形的面积为19cm2．【例14】（第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．APFAPFBQCDEBQCDE【解析】如图，将正六边形ABCDEF等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF面积=3，CDE面积=9，四边形ABQP面积=11．上述三块面积之和为3+9+11=23．因此，阴影四边形CEPQ面积为54-23=31．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：

每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格