最新抛物线与圆综合探究题含答案Word文档下载推荐.docx

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例2、已知：

在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

⑴试用含a的代数式表示b；

⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。

若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；

⑶设点B是满足⑵中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由。

（1）解法一：

∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点解法二：

∵一次函数的图象与x轴交于点A∴点A的坐标为（4，0）∵抛物线经过O、A两点∴抛物线的对称轴为直线

（2）解：

由抛物线的对称性可知，DO＝DA∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO又由

（1）知抛物线的解析式为∴点D的坐标为（）①当时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D'

∴点D'

与点D也关于x轴对称

∵点O在⊙D'

上，且OD与⊙D'

相切∴点O为切点∴D'

O⊥OD∴∠DOA＝∠D'

OA＝45°

∴△ADO为等腰直角三角形∴点D的纵坐标为∴抛物线的解析式为②当时，同理可得：

抛物线的解析式为综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或

（3）解答：

抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得设点P的坐标为（x，y），且y＞0①当点P在抛物线上时（如图2）∵点B是⊙D的优弧上的一点过点P作PE⊥x轴于点E由解得：

（舍去）∴点P的坐标为②当点P在抛物线上时（如图3）同理可得，由解得：

（舍去）∴点P的坐标为综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为或

例3、如图，在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）。

⑴求圆心的坐标；

⑵抛物线y＝ax2＋bx＋c过O、A两点，且顶点在正比例函数

y＝－x的图象上，求抛物线的解析式；

⑶过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D、E两点，试判断D、E两点是否在⑵中的抛物线上；

⑷若⑵中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围。

（1）∵⊙C经过原点O，∴AB为⊙C的直径。

∴C为AB的中点。

过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH＝OB＝，OH＝OA＝1。

∴圆心C的坐标为（1，）。

（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x＝1。

∵抛物线的顶点在直线y＝－x上，∴顶点坐标为（1，－）把这三点的坐标代入抛物线抛物线y＝ax2＋bx＋c，得

解得∴抛物线的解析式为。

（3）∵OA＝2，OB＝2，∴.即⊙C的半径r＝2。

∴D（3，），E（－1，）代入检验，知点D、E均在抛物线上（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角。

∴－1＜x0＜0，或2＜x0＜3。

例4、如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4），且经过点N（2,3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C。

⑴求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；

⑵若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；

⑶点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：

在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；

（1）由抛物线的顶点是M（1，4），设解析式为又抛物线经过点N（2，3），所以解得a＝－1所以所求抛物线的解析式为y＝令y＝0，得解得：

得A（－1，0）B（3，0）；

令x＝0，得y＝3，所以C（0，3）.

（2）直线y=kx+t经过C、M两点，所以即k＝1，t＝3直线解析式为y＝x＋3.令y＝0，得x＝－3，故D（－3，0）CD＝连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F.设过A、N两点的直线的解析式为y＝mx＋n，则解得m＝1，n＝1所以过A、N两点的直线的解析式为y＝x＋1所以DC∥AN.在Rt△ANF中，AN＝3，NF＝3，所以AN＝所以DC＝AN。

因此四边形CDAN是平行四边形.

（3）假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，设P（1，u）其中u＞0，则PA是圆的半径且过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ＝PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。

由第

（2）小题易得：

△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4-u|，PQ＝由得方程：

，解得，舍去负值u＝，符合题意的u＝，所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）.

例5、已知：

如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，∠ACB＝90°

，⑴求m的值及抛物线顶点坐标；

⑵过A、B、C的三点的⊙M交y轴于另一点D，连结DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴、y轴于点F、G，求直线FG的解析式；

⑶在条件⑵下，设P为上的动点（P不与C、D重合），连结PA交y轴于点H，问是否存在一个常数k，始终满足AH·

AP＝k，如果存在，请写出求解过程；

如果不存在，请说明理由.

⑴由抛物线可知，点C的坐标为（0，m），且m＜0.

设A（x1，0），B（x2，0）.则有x1·

x2＝3m　又OC是Rt△ABC的斜边上的高，∴△AOC∽△COB　∴　∴，即x1·

x2＝－m2　∴－m2＝3m，解得　m＝0　或m＝－3　而m＜0，故只能取m＝－3　这时，故抛物线的顶点坐标为（，－4）　

⑵解法一：

由已知可得：

M（，0），A（－，0），B（3，0），C（0,－3），D（0，3）　∵抛物线的对称轴是x＝，也是⊙M的对称轴，连结CE∵DE是⊙M的直径，∴∠DCE＝90°

，∴直线x＝，垂直平分CE，∴E点的坐标为（2，－3）　∵，∠AOC＝∠DOM＝90°

，∴∠ACO＝∠MDO＝30°

，∴AC∥DE∵AC⊥CB，∴CB⊥DE又FG⊥DE，　　∴FG∥CB由B（3，0）、C（0，－3）两点的坐标易求直线CB的解析式为：

y＝－3　可设直线FG的解析式为y＝＋n，把（2，－3）代入求得n＝－5故直线FG的解析式为y＝－5　

解法二：

令y＝0，解－3＝0得x1＝－，x2＝3，即A（－，0），B（3，0）根据圆的对称性，易知：

：

⊙M半径为2，　M（，0）在Rt△BOC中，∠BOC＝90°

，OB＝3，，OC＝3∴∠CBO＝30°

，同理，∠ODM＝30°

。

而∠BME＝∠DMO，∠DOM＝90°

，∴DE⊥BC∵DE⊥FG，　∴BC∥FG∴∠EFM＝∠CBO＝30°

在Rt△EFM中，∠MEF＝90°

，ME＝2，∠FEM＝30°

，∴MF＝4，∴OF＝OM＋MF＝5，∴F点的坐标为（5，0）在Rt△OFG中，OG＝OF·

tan30°

＝5×

＝5∴G点的坐标为（0，－5）∴直线　FG的解析式为y＝－5　（解法二的评分标准参照解法一酌定）

⑶解法一：

存在常数k＝12，满足AH·

AP＝12　连结CP由垂径定理可知，∴∠P＝∠ACH（或利用∠P＝∠ABC＝∠ACO）又∵∠CAH＝∠PAC，∴△ACH∽△APC∴　即AC2＝AH·

AP　在Rt△AOC中，AC2＝AO2＋OC2＝（）2＋32＝12（或利用AC2＝AO·

AB＝×

4＝12∴AH·

AP＝12　　

AP＝12设AH＝x，AP＝y由相交弦定理得HD·

HC＝AH·

HP即化简得：

xy＝12即　AH·

例6、抛物线（）交x轴于点A（-1,0）、B（3,0）,交y轴于点C,顶点为D,以BD为直径的⊙M恰好过点C.

（1）求顶点D的坐标（用的代数式表示）；

（2）求抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形？

若存在,求出点P的坐标；

若不存在,说明理由.

（1）（方法一）由题意：

设抛物线的解析式为∴∴点C（0，－3a），D（1,－4a）

（方法二）由题意：

，解得　∴（下同方法一）

（2）（方法一）过点D作DE⊥y轴于点E，易证△DEC∽△COB∴∴∴　　∵　　∴故抛物线的解析式为：

（方法二）过点D作DE⊥y轴于点E，过M作MG⊥y轴于点G，设⊙M交x轴于另一点H，交y轴于另一点F，可先证四边形OHDE为矩形，则OH＝DE＝1，再证OF＝CE＝－a，由OH·

OB＝OF·

OC得：

，∴（下同法一）

（3）符合条件的点P存在，共3个①若∠BPD＝90°

，P点与C点重合，则P1（0，3）（P1表示第一个P点，下同）②若∠DBP＝90°

，过点P2作P2R⊥x轴于点R，设点P2由△BP2R∽△DBH得，，即，解得　或（舍去）故③若∠BDP＝90°

，设DP3的延长线交y轴于点N，可证△EDN∽△HDB【<

EDN=<

HDB,两个边相互垂直的角相等或者互补】，求得EN＝，∴N（0，）求得DN的解析式为求抛物线与直线DN的交点得P3（），综上所述：

符合条件的点P为（0，3）、、（）

例7、已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于不同的两点A和B（4，0），与y轴交于点C（0，8），其对称轴为x=1.⑴求此抛物线的解析式；

⑵过A、B、C三点作⊙O′与y轴的负半轴交于点D,求经过原点O且与直线AD垂直（垂足为E）的直线OE的方程；

⑶设⊙O′与抛物线的另一个交点为P，直线OE与直线BC的交点为Q，直线x=m与抛物线的交点为R，直线x=m与直线OE的交点为S。

是否存在整数m，使得以点P、Q、R、S为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出m的值；

（1）由已知，有解得∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+8.

（2）令y=0，得方程-x2+2x+8＝0，解得x1=-2，x2=4.∴点A的坐标为（-2，0）.在⊙O′中，由相交弦定理，得OA|·

|OB|=|OC|·

|OD|，即2×

4=8×

|OD|，∴|OD|=1.∵点D在y轴的负半轴上，∴点D的坐标为（0，-1）.

在Rt△AOD中，∵|OA|=2，|OD|=1，OE⊥AD，∴由勾股定理，有AD==.又∵|OA|·

|OD|=|AD|·

|OE|，∴|OE|=.∵|OA|2=|AE|·

|AD|，即22=|AE|，∴|AE|=.

同理，由|OD|2=|DE|·

|AD|，得|DE|=.设点E（x，y），且x<

0，y<

0.在Rt△AOE中，|AE|·

|OE|=|y|·

|OA|，∴|y|=，∴y=-.在Rt△DOE中，|DE|·

|OE|=|x|·

|OD|，∴|x|=，∴x=-.∴点E的坐标是（-，-）.设直线OE的方程为y=kx（k≠0）.∵直线OE经过点E（-，-），∴-=-k，K=2.∴直线OE的方程为y=2x.

（3）在⊙O′中，∵对称轴x=1垂直平分弦AB，∴由垂径定理的推