高中数学第三章不等式342基本不等式的应用学案苏教版必修5.docx

高中数学第三章不等式342基本不等式的应用学案苏教版必修5.docx

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高中数学第三章不等式342基本不等式的应用学案苏教版必修5

3．4.2　基本不等式的应用

学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

知识点一　基本不等式及变形

思考　使用基本不等式证明：

≤（a>0，b>0），并说明什么时候等号成立．

梳理　以下是基本不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件．

当a>0，b>0时，有________________________；

当且仅当________时，以上三个等号同时成立．

知识点二　用基本不等式求最值

思考　因为x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．所以当x＝1时，（x2＋1）min＝2.

以上说法对吗？

为什么？

梳理　基本不等式求最值的条件：

（1）x，y必须是________；

（2）求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________；

（3）等号成立的条件是否满足．

类型一　基本不等式与最值

例1　

（1）若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值；

（2）设0

（3）已知x>2，求x＋的最小值；

（4）已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

反思与感悟　在利用基本不等式求最值时要注意三点：

一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值（恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧）；三是考虑等号成立的条件是否具备．

跟踪训练1　

（1）已知x>0，求f（x）＝＋3x的最小值；

（2）已知x<3，求f（x）＝＋x的最大值；

（3）设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．

类型二　基本不等式在实际问题中的应用

命题角度1　几何问题的最值

例2　

（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

反思与感悟　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大（小）值及取最大（小）值的条件．

跟踪训练2　某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？

最低总造价是多少？

命题角度2　生活中的最优化问题

例3　某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

引申探究

若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？

反思与感悟　应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解．

跟踪训练3　一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．

1．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于________．

2．已知x≥，则f（x）＝有最________（填“大”或“小”）值，为________．

3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理（够用且浪费最少）的铁丝长度应是________m（取整数）．

4．已知0

1．用基本不等式求最值

（1）利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：

①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

（2）利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．

（3）在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y＝x＋（p>0）的单调性求得函数的最值．

2．求解应用题的方法与步骤：

（1）审题；

（2）建模（列式）；（3）解模；（4）作答．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　∵a>0，b>0，

∴＋≥2>0，

∴≤，

即≤（a>0，b>0），当且仅当＝，即a＝b时，等号成立．

梳理　

≤　≤　≤　a＝b

知识点二

思考　错．显然（x2＋1）min＝1.

x2＋1≥2x，当且仅当x＝1时取等号．仅说明抛物线y＝x2＋1恒在直线y＝2x上方，仅在x＝1时有公共点．

使用基本不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值．如果都不是定值，可能出错．

梳理　

（1）正数　

（2）定值　定值

题型探究

例1　解　

（1）当x>0时，

x＋≥2＝4，

当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．

∴函数y＝x＋（x>0）在x＝2时取得最小值4.

（2）∵00，

∴y＝4x（3－2x）＝2[2x（3－2x）]

≤22＝.

当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

∵∈.

∴函数y＝4x（3－2x）（0

（3）∵x>2，∴x－2>0，

∴x＋＝x－2＋＋2

≥2＋2＝6，

当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．

∴x＋的最小值为6.

（4）方法一　∵x>0，y>0，＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）

＝＋＋10≥6＋10＝16，

当且仅当＝，

又＋＝1，

即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16.

方法二　由＋＝1，

得（x－1）（y－9）＝9（定值）．

由＋＝1可知x>1，y>9，

∴x＋y＝（x－1）＋（y－9）＋10

≥2＋10＝16，

当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，

y＝12时上式取等号，

故当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16.

跟踪训练1　解　

（1）∵x>0，

∴f（x）＝＋3x≥2＝12，

当且仅当3x＝，即x＝2时取等号，

∴f（x）的最小值为12.

（2）∵x<3，∴x－3<0，

∴f（x）＝＋x＝＋x－3＋3

＝－＋3

≤－2＋3＝－1，

当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．

∴f（x）的最大值为－1.

（3）由2x＋8y－xy＝0，得y（x－8）＝2x.

∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，

∴x＋y＝x＋＝x＋

＝（x－8）＋＋10

≥2＋10＝18.

当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立．

∴x＋y的最小值是18.

例2　解　

（1）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，

则xy＝100，篱笆的长为2（x＋y）m.

由≥，可得x＋y≥2，

2（x＋y）≥40.

当且仅当x＝y＝10时等号成立．

所以这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m.

（2）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2（x＋y）＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xym2.

由≤＝＝9，可得xy≤81，

当且仅当x＝y＝9时，等号成立．

所以这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积为81m2.

跟踪训练2　解　设水池底面一边的长度为xm，则另一边的长度为m.

又设水池总造价为y元，根据题意，得

y＝150×＋120×（2×3x＋2×3×）＝240000＋720×

≥240000＋720×2

＝297600（元），

当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297600.

所以当水池底面为正方形且边长为40m时总造价最低，最低总造价为297600元．

例3　解　设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨．

由题意可知，面粉的保管及其他费用为

3×[6x＋6（x－1）＋6（x－2）＋…＋6×1]＝9x（x＋1）．

设平均每天所支付的总费用为y元，

则y＝[9x（x＋1）＋900]＋6×1800

＝9x＋＋10809

≥2＋10809＝10989（元），

当且仅当9x＝，

即x＝10时，等号成立．

所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．

引申探究

解　设x1，x2∈[15，＋∞），且x1＜x2.

则（9x1＋＋10809）－（9x2＋＋10809）

＝9（x1－x2）＋900（－）

＝（x1－x2）

＝（x1－x2）.

∵15≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞225，

∴（x1－x2）＜0，

即y＝9x＋＋10809在[15，＋∞）上为增函数．

∴当x＝15，即每15天购买一次面粉，每天支付的平均费用最少．

跟踪训练3　8

当堂训练

1．－4　2.小　1　3.7　4.2－2