赵树嫄微积分导数与微分.ppt

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1,第三章,导数与微分,2,第一节导数引例,取极限得,瞬时速度,

（一）物体作变速直线运动的瞬时速度问题,3,解,所以,例1,4,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,5,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,6,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,7,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,8,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,9,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,10,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,11,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,12,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,13,

（二）切线问题,切线割线的极限位置,14,割线MN的斜率为,切线MT的斜率为,15,解,例2,因此切线方程为,切线斜率为,16,第二节导数概念,

（一）导数的定义,定义,比值,并,17,形式1,形式2,也可记为,18,这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，,变化的快慢。

它表示函数值的变化相对于自变量的,变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.,速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率。

19,导函数,20,用定义求导数的基本步骤：

21,例3,解,22,例4,解,23,例5,解,24,例6,解,以后证明，,（为任意非零实数）。

25,极限不存在,但,例7用定义讨论函数,解,26,

（二）导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,27,例8,解,所以切线方程为,28,练习：

解,所求切线方程为,或,或,L的斜率,29,（三）左、右导数,2、右导数：

1、左导数：

30,例9,解,31,例10,解,32,（四）可导与连续的关系,定理函数在可导点处必连续.,证,33,例如,注意：

该定理的逆定理不成立：

连续未必可导。

34,（或称导数无穷大）,注意：

此时存在铅直切线。

35,例如,极限不存在,但,例11,解,37,第三节导数的基本公式与运算法则,

（一）常数的导数,即,则,

（二）幂函数的导数,以后证明：

特别，,则,（三）代数和的导数,证,注：

公式可推广到有限多个函数的代数和。

40,例1求下列函数的导数：

（四）乘积的导数,证,42,推论,证,2、可推广到有限多个函数的乘积，如,一般地，有,43,例2求下列函数的导数：

或用定义：

（五）商的导数,证,45,所以,46,47,例3求下列函数的导数：

或解,（六）对数函数的导数,即,Naturallogisnatural.,由对数换底公式,（七）指数函数的导数,即,特别地,（八）三角函数的导数,即,类似有,51,例4,解,类似可得,即,52,例5,解,类似可得,即,53,三角函数的导数公式,54,例6求下列函数的导数：

55,例7,解,例8,解,56,训练：

求导数,或解：

（九）复合函数的导数,推广,证略,58,例9,解,例10,解,例11,解,59,例12,解,例13,解,60,例14,解,61,例15,解,62,训练：

求导数,63,（十）反函数的导数,定理,即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

证略,（十一）反三角函数的导数,例16,解,类似有,65,例17,解,类似有,66,反三角函数的导数公式,67,例18求下列函数的导数：

（十二）隐函数的导数,问题：

隐函数能否不经显化而直接求导?

69,例19,解,比较：

70,解,例20,解得,方程两边关于x求导,得,解,例21,解得,方程两边关于x求导,得,71,例22,解,注：

先代入数值，再解方程，较简便。

方程两边关于x求导,得,72,解,例23,所求切线方程为,方程两边关于x求导,得,73,解,先变形为,再两边关于x求导，,例24,（十三）取对数求导法,观察函数,方法：

先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数。

适用范围：

75,例25,解,等式两边取对数得,注意：

需把y换回成原来表达式。

上式两边关于x求导,得,76,说明：

所以,故省略绝对值。

77,练习：

解,等式两边取对数得,上式两边关于x求导,得,78,例26,解,等式两边取对数得,或解,上式两边关于x求导,得,79,例27,解,等式两边取对数得,方程两边关于x求导,得,80,思考：

解,用对数求导法得,-局部对数求导法,81,例28,解,（十四）由参数方程所确定的函数的导数,由复合函数及反函数的求导法则得,即,83,例29,解,84,例30,解,所求切线方程为,（十五）导数公式,86,87,第四节高阶导数,问题：

变速直线运动的加速度。

88,解,例1求下列函数的二阶导数：

（1）,

（2）,（3）,（4）,89,例2,解,90,例3,解,91,例4,求n阶导数：

解,92,例5,解,93,例6,解,94,例7,解,类似可得,归纳可证,例8,解,或解,96,常用n阶导数公式：

（不为正整数）,97,第五节函数的微分,实例：

正方形金属薄片受热后面积的改变量.,

（一）微分的定义,

（1）,

（2）,98,问题：

则函数的改变量为,99,定义,differential,100,定理,证,

（1）必要性,101,定理,证,

（2）充分性,102,所以导数也称为“微商”.,103,

（二）微分的几何意义,M,N,）,几何意义：

（如图）,以直代曲,104,例1,解,所以,例2,解,105,（三）基本微分公式,106,107,微分法则：

108,（四）微分形式的不变性,结论：

此性质称为一阶微分的形式不变性。

109,例3,解法1,解法2,分析,微分的计算：

计算函数的导数,乘以自变量的微分.,也可利用微分的形式不变性计算。

110,例4,解,例5,解,111,例6,解,112,（五）微分在近似计算中的应用,或写成,113,例7,解,球,周长,球壳,114,例8,解,常用近似公式,

（1）证,116,注意联系等价无穷小：

常用近似公式,117,例9求下列各数的近似值：

解,解,118,END,END,