高一数学三角函数与向量的基本概念及综合应用练习题Word格式.docx

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4、实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：

1注意点的坐标和向量的坐标的差别：

②向量的平等行和垂直坐标公式：

5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：

★例1、已知平行四边形OADB中，=,=,AB与OD相交于点C，且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、、和。

★例2、求证；

G为△ABC的重心的充要条件是：

++=0

★例3、已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，=,=，则=____

★例4、①已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若M,N,,P三点共线，O为坐标原点，且=a31+a2（直线MP不过点O），则S32等于多少？

②（2006年江西高考）已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若=a1+a200,且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（）

A100B101C200D201

★例5、①若的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则||=_____

2已知=（1,2）,=（x,1）,且+2与2-平行，则x之值为____

3已知=（3,4）,⊥,且的起点坐标为（1,2），终点坐标为（x,3x），则等于_____

4已知点M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点P的坐标是____（答案：

（-1，）

巩固练习：

（一）平面向量的坐标运算规律：

①设=（x1,y1）,=（x2,y2）,则+=_________；

-=__________,=______；

②||==；

又·

=||·

||·

cos<

>

=x1x2+y1y2则cos<

==;

③若∥⇔x1y2-x2y1=0;

若⊥⇔x1x2+y1y2=0，

★例1、①已知=（3,5）=（2,3）,=（1,-2）,求（·

）·

（答案：

（21，-42））

②已知=（3,-1）,=（-1,2）,则-3-2的坐标为_____（答案:

（-7,-1））

③已知||=4,||=3,（2-3）·

（2+）=61,求与的夹角.（为120°

）

④已知||=2,||=9,·

=-54,求与的夹角.（为135°

★例2、①已知=（1,2）,=（x,1）且+2与2-平行，则x=_____（答案:

②已知||=2,||=1,与的夹角为,求向量2+3与3-的夹角的余弦值.（答案:

）；

③已知向量=（cos,sin）,=（cos,sin）,且≠±

则+与-的夹角大小是____（90°

④已知向量与的夹角为120°

且||=3,|+|=,则||=_____

★例3已知=（1,2）,=（-3,2）,当k为何值时,①k+与-3垂直?

②k+与-3平行,平行时它们是同向还是反向?

（解:

①k=19;

②k=-1/3,反向.）

★例4:

①若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的夹角大小.（答案:

60°

②已知向量=（2,7）,=（x,-3）,当与的夹角为钝角时，求出x的取值范围；

若与的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？

为钝角时x<

x≠;

为锐角时x>

★例5、已知=（cos,sin）,=（sin,cos）,x∈[0,]，①求·

；

②求|+|，③设函数（x）=·

+|+|，求出（x）的最大值和最小值。

解：

·

=sin2x;

|+|=（sinx+cosx）,（x）的最大值为1+2，最小值2

★例6、已知向量a=（sin,1）,b=（1,cos）,-<

<

①若a⊥b,求出之值，②求出|a+b|的最大值。

=-，|a+b|的最大值+1）

★例7、①已知向量=（cos,sin）,向量=（,-1），求|2-|的最大值。

（答案为4）

②已知向量=（3,1）,向量=（x,-3）,且⊥，求出x之值。

（答案为1）

③已知||=3,||=2,且与的夹角为60°

，当m为何值时，两向量3+5与m-3互相垂直？

m=）

④已知||=3,||=8,向量与的夹角为120°

，则|+|之值为多少？

7）

⑤已知||=||=1,及|3-2|=3，求出|3+|之值。

2）

⑥已知,是非0向量，且满足-2⊥,和-2⊥，则与的夹角为多少？

为60）；

⑦已知向量=（4,-3）,||=1,且·

=5,则=_______（答案：

（，）

⑧若向量与的夹角为60°

，且||=4，又有（+2）·

（-3）=-72，则向量的模为多少？

为6）；

⑨已知点A（-2，0），点B（3，0），动点P（x,y）满足·

=x2,则动点P的轨迹方程为____（答案：

y2=x+6）

⑩在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且a+c=2b,A-C=，求sinB（答案：

★例8、已知向量,,且||=4,||=3,又（2-3）·

（2+）=61,则<

=_____（120°

★例9、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使·

，·

成公差小于0的等差数列，①求点P的轨迹方程；

②若点P的纵坐标为，求tan<

之值。

①x2+y2=3（x>

0）;

②）

★例10、已知=（1,-2）,=（1,）,①若和的夹角为锐角，求的取值范围；

②若和垂直，求之值；

③若和的夹角为钝角，求的取值范围；

④若和同向，求的值；

⑤若和反向，求的值；

⑥若和共线，求的值。

★例11、已知=（-3,2）,=（2,1）,=（3,-1）,t∈R,①若-t与共线，求实数t之值。

②求出|+t|的最小值及相应的t之值。

四、三角与与向量的综合归纳

1、三角变形公式主要是：

①诱导公式；

②sin（±

）,cos（±

）,tan（±

）;

③sin2,cos2,tan2;

③sin2,cos2;

④asin+bcos;

⑤注意常数代换（如1=sin2+cos2;

=sin30°

=cos60°

等；

角的配凑（如=（+）-，2=（+）+（-），=+等）

2、变形时，要注意角与角之间的相互关系，最常用的有：

切割化弦、高次降幂、异角化同角等；

（化同名、化同次、化同角）

3、三角函数的图象和性质，要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性、最值；

正、余弦函数作图的“五点法”，以及图象的变换。

4、解三角形时，要充分利用正弦定理、余弦定理，结合三角形的内角和定理，三角变形公式去处理问题；

5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；

要将坐标运算与基底运算灵活

加以应用；

向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；

利用||2=·

=2可以实现数量积与模的相互转化。

【※题1】①已知=（1,1）与+2的方向相同,则·

的取值范围是_______（答案:

（-1,+∞））

②已知非零向量与满足（+）·

=0,且·

=,则△ABC为（D）

A钝角△BRt△C等腰非等边△D等边△

③已知=（3,1）,=（-1,2）,若⊥,且∥,则=________（答案:

（14,7））

④已知向量=（1,-2）,=（1,）,若与的夹角为锐角,则实数的取值范围是_____（答案:

（-∞,-2）∪（-2,））

【※题2】设函数（x）=·

其中向量=（2cosx,1）,=（cosx,sin2x）,①当（x）=1-,且x∈[-,],求x；

②若函数y=2sin2x的图象按向量=（m,n）（|m|<

）平移后得到函数y=（x）的图象，求实数m,n之值。

解:

①（x）=2sin（2x+）+1,则x=-；

②m=,n=1

★【※题3】①已知tan（-π）=,则（2sin+cos）cos的值为（A）

ABC1D0

②已知、∈（，π），sin（+）=,sin（-）=,则cos（+）=__________（答案：

③已知（x）=2tanx-,则是（）的值为（）

A4BC4D8（解、（x）=,则所求为8）

★【※题4】①设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,则cosB=（B）

ABCD

②已知某正弦函数y=Asin（ωx+）的部分图象如图示，则（x）的解析式为________（答案:

y=y=-4sin（x+）

③函数y=sin（2x-）的图象是由函数y=cos2x的图象经过下列哪种平移变换而得到的（D）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位

★【※题5】①设点P是函数（x）=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则（x）的最小正周期是_______（答案:

π）

②已知函数（x）=sin（r>

0）的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x2+y2=r2上,则（x）的最小正周期是______（答案:

4）

③已知函数y=sin（ωx+）（ω>

0,0<

π）是偶函数,其图象关于点M（,0）对称,且在[0,]上是单调函数,求ω和的值.（答案:

=;

ω=2或）

★【※题6】已知函数（x）=sinωxcosωx-cos2ωx+（ω≠0）的最小正周期是π,且图象关于直线x=对称,①求出ω之值;

②若当x∈[0,]时,|a+（x）|<

4恒成立,求实数a的取值范围.

解、①（x）=-sin（2x+）+1；

②|a+（x）|<

4恒成立[-4-（x）]max<

a<

[4-（x）]min

则a∈（-4，）

★【※题7】①把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位之后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（C）ABCD

②若（x）=asin（x+）+3sin（x-）是偶函数，则a=______（答案:

-3）

③把曲线C:

y=sin（-x）cos（x+）向右平移a（a>

0）个单位,得到曲线C′,若曲线C′关于点（,0）对称,则a的最小值是_____（答案:

★【※题8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;

卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y（米）是时间t（0≤t≤24,单位:

时）的函数,记作y=（t）,下面是该港口在某季节每天水深的数据:

t（时）

3

6

9

12

15

18

21

24

y（米）

10.0

13.0

9.9

7.0

10.1

经过长期观察,y=（t）曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象

①根据以上数据,求出函数y=（t）的近似表达式;

②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的（船舶停靠时,船底只要不碰海底即可）.某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5m,如果该船想在同一天内安全