相似图形提高讲义全.docx

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相似图形提高讲义全

图形相似

线段的比、黄金分割及形状相同的图形

知识要点

◆要点1线段的比

（1）线段的比：

在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。

（2）成比例线段：

四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即

，那么这四条线段成比例线段，当b＝c时，有

，称b为a与d的比例中项。

（3）比例尺：

比例尺＝图上距离：

实际距离

（4）两条线段被一组平行线所截的线段成比例。

★说明：

判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。

◆要点2比例的性质

比例的基本性质：

◆要点3黄金分割

概念：

若点C把线段AB分成两条线段AC、BC（AC＞BC），若

，我们称线段AB被点C黄金分割，C点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比

。

★说明：

（1）一条线段有两个黄金分割点。

黄金分割比是两个线段的比，没有单位；

（2）一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：

若AB＝1，

XS—01

相似多边形\相似三角形及三角形相似的条件

知识要点

相似多边形

◆要点1各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。

相似多边形对应边的比叫做多边形的相似比。

★说明：

（1）相似多边形的定义既可以看作是相似多边形的性质，又可以看作相似多边形的判定；

（2）判定相似的两个条件，一个是各角对应相等，另一个是各边对应成比例；二者缺一不可。

相似三角形

◆要点2三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

★说明：

（1）相似三角形的各角对应相等，各边对应成比例；

（2）两个三角形的相似比为1时，这两个三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情况；（3）△ABC与△A/B/C/相似和△ABC∽△A/B/C/的含义有所不同，前者没有指明这两个相似三角形的对应关系，而后者表明了对应关系。

◆要点3三角形相似的判别方法

方法1：

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

方法2：

两角对应相等的两个三角形相似；

方法3：

三边对应成比例的两个三角形相似；

方法4：

两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

●引申直角三角形除了具有以上3种判别方法，还有以下方法：

①一条直角边和一条斜边对应成比例的两个直角三角形相似；②斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

★说明：

（1）相似三角形判定的三种判别方法中，“角角”“边边边”用的最广泛。

在用“边角边”时要注意，必须是夹“角”的两边对应成比例；

（2）要找准对应边，一般对应角所对的边是对应边，最长的边或最短的边是对应边，公共边一般不是对应边。

在找对应角时，公共角、对顶角一般是对应角。

相似形的应用、相似多边形的性质、图形的放大与缩小

知识要点

◆要点1测量旗杆高度的三种方法：

（1）方法1：

利用阳光下的影子（如图1）

（还可利用结论：

同一时刻：

）；

（2）方法2：

利用标杆；（如图2，本方法主要注意人与标杆及被测旗杆应都与地面垂直，故三者平行，由此构造相似三角形）

（3）方法3：

利用镜子反射（如图3，本方法用镜面反射，由反射角等于入射角，人与被测旗杆与地面垂直）

★说明：

在测量旗杆高度的三种方法中，都是利用三角形相似的知识解决，根据实际情况，构造相似三角形，通过测量三角形的边，利用对应边成比例计算出要求的目标。

◆要点2相似三角形与相似多边形的性质

相似三角形的性质：

（1）相似三角形对应高的比等于相似比；

（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比；

（3）相似三角形对应中线的比等于相似比；

（4）相似三角形周长的比等于相似比；

（5）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

★说明：

这里的高线、角平分线、中线必须是对应的。

相似多边形的性质：

（1）相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；

（2）相似多边形中，对应的三角形相似，相似比等于原多边形的相似比。

◆要点3位似图形定义：

如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

每组对应点所在的直线都经过的点叫位似中心。

在已确定的两位似图形中，只有一个位似中心，两位似图形可在位似中心的同侧，也可在位似中心的两侧。

两个位似图形的相似比又称为位似比。

如图

（1）、

（2）、（3）、（4）、（5）。

位似图形的性质：

（1）对应边的比等于位似比；

（2）周长的比等于位似比，面积的比等于位似比的平方；（3）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

★说明：

（1）位似图形一定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；

（2）判断两个图形是位似图形，先判断两个图形相似，再看它们的对应点的连线或其延长线是否经过同一点；（3）将一个图形放大或缩小时，位似中心可以在图形内或边上，也可以在图形的顶点上。

例题精讲：

例1若

，则

＝________。

变形1：

已知

，求

及

的值。

例2已知x：

y：

z＝1：

3：

5，求

的值。

变形1：

若4x＝7y＋5z，2x＋y＝z，那么x：

y：

z＝（）

A.2：

1：

（－3）B.2：

1：

3C.2：

（－1）：

3D.3：

2：

1

变形2：

若

，且x＋y＋z＝18，求x，y，z。

例3若点C是线段AB的分割点（AC＞BC），AB＝16，则AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD＝_______。

变形：

如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB.当PA2＝PB·AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点，如图所示，那么线段PB的长约为（）

A.6.18B.0.382C.0.618D.3.82

例4、如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上一点，且△ADE∽△ABC，F为AD上一点，且△AEF∽△ACD，

（1）AD2＝AF·AB吗？

请说明理由。

（2）若AF＝4，AB＝9，求

AD。

变形：

如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，若EF∥BC，且所分成的梯形AEFD和梯形EBCF相似，AD＝4，BC＝9，求EF的长。

例5、如图XS—11所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，试证AE·AB＝AF·AC。

变形1：

如图XS—11－1，△ABC中，

，D为AB上一点，若△BDE∽△BAC，则

＝______。

变形2：

如图XS—11－2，△AOB∽△COD，∠A＝∠C，下列各式正确的有（）个

①

；②

；③

；④

。

A.1B.2C.3D.4

ZJ—26

例6、如图ZJ—26，兴趣小组的同学要测量树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1m的竹竿的影长为0.4m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2m，一级台阶高为0.3m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4m，则树高为（）

A.11.5mB.11.75mC.11.8mD.12.25m

一、选择题

1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为………………………………………………………………………（　　）

（A）

　　（B）

　　（C）

　　（D）

2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且

＝

，AE＝BE，则有………………………………………………………………………………………（　　）

（A）△AED∽△BED　　　（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD　　　（D）△BAD∽△BCD

3．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有……………………………………（　　）

（A）1条　　　（B）2条　　　（C）3条　　　（D）4条

4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是……………………………（　　）

（A）2　　　（B）3　　　（C）4　　　（D）5

5．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是……………………………………………………（　　）

（A）∠APB＝∠EPC　　　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点　　　（D）BP︰BC＝2︰3

6．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：

（1）∠B＋∠DAC＝90°；

（2）∠B＝∠DAC；

（3）

＝

；　　　（4）AB2＝BD·BC

其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有………………………………（　　）

（A）3个　　　（B）2个　　　（C）1个　　　（D）0个

7．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是………………………………………………（　　）

（A）AE⊥AF　　　　　　　（B）EF︰AF＝

︰1

（C）AF2＝FH·FE　　　　（D）FB︰FC＝HB︰EC

8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有…………………（　　）

（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长

（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积

（C）△ABE∽△DEC

（D）△ABE∽△EBC

9．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（　　）．

（A）5︰12　　（B）9︰5　　（C）12︰5　　（D）3︰2

10．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝

AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为……………………………（　　）

（A）2︰1　　（B）3︰2　　（C）3︰1　　（D）5︰2

11．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9cm，宽AB＝3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为………………………………（　　）

（A）4cm、

cm　　　　（B）5cm、

cm

（C）4cm、2

cm　　　　（D）5cm、2

cm

二、填空题

12．已知线段a＝6cm，b＝2cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．

13．若

＝

＝

＝－m2，则m＝______．

14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．

15．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝

FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．

16．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．

17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE的长等于________．

18．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则

△ABC的面积是______．

三、证明题

1、如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．

2、如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．

（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？

（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．

求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．

3、如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．

（1）△AEF与△EFC是否相似？

若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

（2）设

＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．