高考数学全套教案高考大题增分课1函数与导数中的高考热点问题文档格式.docx
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故f′(x)=3x2-6t2x+3t-9.令f′(x)=0,解得x=t2-,或x=t2+.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,t2-)
t2-
(t2-,t2+)
t2+
(t2+,+∞)
f′(x)
+
-
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
所以函数f(x)的极大值为f(t2-)=(-)3-9×
(-)=6;
函数f(x)的极小值为f(t2+)=()3-9×
=-6.
[规律方法] 1.研究函数的性质,必须在定义域内进行,因此利用导数研究函数的性质,应遵循定义域优先的原则.
2.讨论函数的单调性,求函数的单调区间、极值问题,最终归结到判断f′x的符号问题上,而f′x>0或f′x<0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二次不等式问题.
3.若已知fx的单调性,则转化为不等式f′x≥0或f′x≤0在单调区间上恒成立问题求解.
(2019·
合肥模拟)已知函数f(x)=alnx+x2-ax(a∈R).
(1)若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间;
(2)求g(x)=f(x)-2x在区间[1,e]的最小值h(a).
[解]
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=+2x-a=,
因为x=3是f(x)的极值点,
所以f′(3)==0,解得a=9.
所以f′(x)==,
所以当0<x<或x>3时,f′(x)>0;
当<x<3时,f′(x)<0.
所以f(x)的单调递增区间为和(3,+∞),单调递减区间为.
(2)由题知,g(x)=f(x)-2x=alnx+x2-ax-2x.
g′(x)=-2=.
①当≤1,即a≤2时,g(x)在[1,e]上为增函数,
h(a)=g
(1)=-a-1;
②当1<<e,即2<a<2e时,g(x)在上为减函数,在上为增函数,
h(a)=g=aln-a2-a;
③当≥e,即a≥2e时,g(x)在[1,e]上为减函数,
h(a)=g(e)=(1-e)a+e2-2e.
综上,h(a)=
利用导数研究函数的零点问题
研究函数零点的本质就是研究函数的极值的正负,为此,我们可以通过讨论函数的单调性来解决,求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用,其主要考查方式有:
(1)确定函数的零点、图象交点的个数;
(2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围.
【例2】 (本小题满分12分)(2018·
全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=x3-a(x2+x+1).
(1)若a=3,求f(x)的单调区间;
(2)证明:
f(x)只有一个零点.
[信息提取] 看到
(1)求单调区间,想到导数与单调性的关系;
看到
(2)f(x)只有一个零点,想到f(x)的单调性及函数有零点的条件.
[规范解答]
(1)当a=3时,f(x)=x3-3x2-3x-3,f′(x)=x2-6x-3.
令f′(x)=0解得x=3-2或x=3+2.2分
当x∈(-∞,3-2)∪(3+2,+∞)时,f′(x)>
0;
当x∈(3-2,3+2)时,f′(x)<
0.4分
故f(x)在(-∞,3-2),(3+2,+∞)上单调递增,在(3-2,3+2)上单调递减.5分
由于x2+x+1>
0,所以f(x)=0等价于-3a=0.7分
设g(x)=-3a,则g′(x)=≥0,仅当x=0时g′(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.9分
又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6a-2-<
0,f(3a+1)=>
0,故f(x)有一个零点.11分
综上,f(x)只有一个零点.12分
[易错与防范] 易错误区:
(1)把单调增区间用“∪”连接.
(2)作第
(2)问时,直接求f′(x),导致无法求解.
(3)无法找到区间(m,n),使得f(m)f(n)<0.
防范措施:
(1)单调区间不能用“∪”连接.
(2)求函数零点时,常利用f(x)=0,转化函数的表现形式.
(3)在寻找m,n使得f(m)f(n)<0时,可通过多次尝试获得.
[通性通法] 利用导数研究函数零点的两种常用方法
(1)用导数研究函数的单调性,借助零点存在性定理判断;
或用导数研究函数的单调性和极值,再用单调性和极值定位函数图象求解零点问题.
(2)将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决.
武汉模拟)已知f(x)=lnx-x3+2ex2-ax,a∈R,其中e为自然对数的底数.
(1)若f(x)在x=e处的切线的斜率为e2,求a;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
[解]
(1)f′(x)=-3x2+4ex-a,
f′(e)=+e2-a=e2,∴a=.
(2)由lnx-x3+2ex2-ax=0,得-x2+2ex=a.
记F(x)=-x2+2ex,
则F′(x)=-2(x-e).
当x∈(e,+∞)时,F′(x)<0,F(x)单调递减.
当x∈(0,e)时,F′(x)>0,F(x)单调递增,
∴F(x)max=F(e)=+e2,
而x→0时,F(x)→-∞,
x→+∞时,F(x)→-∞.故a<+e2.
利用导数研究不等式问题
导数在不等式中的应用是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较大,属中高档题,突出转化思想、函数思想的考查.常见的命题角度有:
(1)证明不等式;
(2)由不等式恒成立求参数范围问题;
(3)不等式恒成立、能成立问题.
【例3】 设函数f(x)=alnx+x2-bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线斜率为0.
(1)求b;
(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<
,求a的取值范围.
[解]
(1)f′(x)=+(1-a)x-b.
由题设知f′
(1)=0,解得b=1.
(2)f(x)的定义域为(0,+∞),
由
(1)知,f(x)=alnx+x2-x,
f′(x)=+(1-a)x-1=(x-1).
①若a≤,则≤1,故当x∈(1,+∞)时,f′(x)>
0,f(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以,存在x0≥1,使得f(x0)<
的充要条件为f
(1)<
,即-1<
,解得--1<
a<
-1.
②若<
1,则>
1,故当x∈时,f′(x)<
0,当x∈时,f′(x)>
0,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
的充要条件为f<
.
而f=aln++>
,所以不合题意.
③若a>
1,则f
(1)=-1=<
综上,a的取值范围是(--1,-1)∪(1,+∞).
[规律方法] 1.利用导数证明不等式成立问题的常用方法
1直接将不等式转化成某个函数最值问题:
若证明fx<gx,x∈a,b,可以构造函数Fx=fx-gx,如果F′x<0,则Fx在a,b上是减函数,同时若Fa≤0,由减函数的定义可知,x∈a,b时,有Fx<0,即证明了fx<gx.
2将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明:
在证明不等式中,若待证不等式的变形无法转化为一个函数的最值问题,可借助两个函数的最值证明,如证fx≥gx在D上成立,只需证明fxmin≥gxmax即可.
2.利用导数求不等式中参数的范围,用导数解决满足不等式条件的参数范围问题,一般都需要构造函数,然后对构造的函数求导,一般导函数中都含有参数,通过对参数讨论确定导函数的正负,由导函数的正负确定构造函数的单调性,再由单调性确定是否满足函数不等式,由此求出参数范围.
郑州模拟)已知函数f(x)=lnx-(1+a)x2-x.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a<1时,证明:
对任意的x∈(0,+∞),有f(x)<--(1+a)x2-a+1.
[解]
(1)由题知f′(x)=(x>0),
当a≠-1时,由f′(x)=0得2(1+a)x2+x-1=0且Δ=9+8a,
x1=,x2=,
①当a=-1时,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;
②当a>-1时,f(x)在(0,x2)上单调递增,在(x2,+∞)上单调递减;
③当a≤-时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
④当-<a<-1时,f(x)在(0,x2)和(x1,+∞)上单调递增,在(x2,x1)上单调递减.
(2)当a<1时,要证f(x)<--(1+a)x2-a+1在(0,+∞)上恒成立,只需证lnx-x<--a+1在(0,+∞)上恒成立,
令F(x)=lnx-x,g(x)=--a+1,
由F′(x)=-1,易得F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,故F(x)≤F
(1)=-1,
由g(x)=--a+1得g′(x)=-=(x>0).
当0<x<e时,g′(x)<0;
当x>e时,g′(x)>0.
所以g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.
所以g(x)≥g(e)=-+1-a.
又a<1,所以-+1-a>->-1,即F(x)max<g(x)min,
所以lnx-x<--a+1在(0,+∞)上恒成立,
故当a<1时,对任意的x∈(0,+∞),f(x)<--(1+a)x2-a+1恒成立.
[大题增分专训]
1.(2019·
武汉模拟)
(1)求函数f(x)=的最大值;
(2)若函数g(x)=ex-ax有两个零点,求实数a的取值范围.
[解]
(1)对f(x)=求导得,f′(x)=.
易知当0<x<e时,f(x)为增函数,当x>e时,f(x)为减函数,
∴f(x)≤f(e)=,从而f(x)的最大值为.
(2)①当a=0时,g(x)=ex在R上为增函数,且g(x)>0,故g(x)无零点.
②当a<0时,g(x)=ex-ax在R上单调递增,又g(0)=1>0,
g=e-1<0,故g(x)在R上只有一个零点.
③当a>0时,由g′(x)=ex-a=0可知g(x)在x=lna处取得唯一极小值,g