高考数学全套知识点通用版.docx
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高考数学全套知识点通用版
CUB
（），“且”（）和“非”（）.
高考数学全套知识点（通用版）
1.对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如：
集合Ax|ylgx，By|ylgx，C（x,y）|ylgx，A、B、C中元素各表示什么？
2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。
如：
集合Ax|x22x30，Bx|ax1若BA，则实数a的值构成的集合为
1（答：
1，0，1）
3
3.注意下列性质：
（1）集合a1，a2，⋯⋯，an的所有子集的个数是2n；
3）德摩根定律：
CUABCUACUB，CUABCUA
4.你会用补集思想解决问题吗？
（排除法、间接法）
的取值范围。
5.可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”
若pq为真，当且仅当p、q均为真
若pq为真，当且仅当p、q至少有一个为真
若p为真，当且仅当p为假
6.命题的四种形式及其相互关系是什么？
（互为逆否关系的命题是等价命题。
）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
7.对映射的概念了解吗？
映射f：
A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？
（一对一，多对一，允许B中有元素无原象）
8.函数的三要素是什么？
如何比较两个函数是否相同？
（定义域、对应法则、值域）
9.求函数的定义域有哪些常见类型？
10.如何求复合函数的定义域？
如：
函数f（x）的定义域是a，b，ba0，则函数F（x）f（x）f（x）的定义域是
（答：
a，a）
11.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？
12.反函数存在的条件是什么？
一一对应函数）
求反函数的步骤掌握了吗？
（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）
1xx0
如：
求函数f（x）2的反函数x2x0
x1x1答：
f1（x）x1xxx10）
13.反函数的性质有哪些？
1互为反函数的图象关于直线y＝x对称；
2保存了原来函数的单调性、奇函数性；
14.如何用定义证明函数的单调性？
（取值、作差、判正负）
如何判断复合函数的单调性？
∴⋯⋯）
15.如何利用导数判断函数的单调性？
在区间a，b内，若总有f'（x）0则f（x）为增函数。
（在个别点上导数等于
零，不影响函数的单调性），反之也对，若f'（x）0呢？
值是（）
由已知f（x）在［1，）上为增函数，则a1，即a3
3
∴a的最大值为3）
16.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？
（f（x）定义域关于原点对称）
若f（x）f（x）总成立f（x）为奇函数函数图象关于原点对称
若f（x）f（x）总成立f（x）为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论：
（1）在公共定义域内：
两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
17.你熟悉周期函数的定义吗？
函数，T是一个周期。
）
如：
18.你掌握常用的图象变换了吗？
f（x）与f（x）的图象关于y轴对称
f（x）与f（x）的图象关于x轴对称
f（x）与f（x）的图象关于原点对称
f（x）与f1（x）的图象关于直线yx对称f（x）与f（2ax）的图象关于直线xa对称f（x）与f（2ax）的图象关于点（a，0）对称
将yf（x）图象左移a（a0）个单位
y
f（x
a）
右移a（a0）个单位
y
f（x
a）
上移b（b0）个单位yf（xa）
b
下移b（b0）个单位yf（xa）
b
注意如下“翻折”变换：
y
y=log2x
O
1
x
19.
你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？
应用：
①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程
②求闭区间［m，n］上的最值。
3求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。
-7-/42
4一元二次方程根的分布问题。
如：
二次方程ax2
bxc0的两根都大于k
b
2a
f（k）
由图象记性质！
注意底数的限定！
）
k
（6）“对勾函数”yxk0
x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？
20.
1
logaM
n
你在基本运算上常出现错误吗？
logaMNlogaMlogaN，loganM
21.如何解抽象函数问题？
（赋值法、结构变换法）
2）xR，f（x）满足f（xy）f（x）f（y），证明f（x）是偶函数。
22.掌握求函数值域的常用方法了吗？
二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。
）
如求下列函数的最值：
23.
R的弧长公式和扇形面积公式
你记得弧度的定义吗？
能写出圆心角为α，半径为吗？
24.熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义
又如：
求函数y12cosx的定义域和值域
2
（∵12cosx）12sinx0
2
2
∴sinx2，如图：
2
25.你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？
并由图象写出单调区间、对称点、
对称轴吗？
ysinx的增区间为2k，2kkZ
22
3
减区间为2k，2kkZ
22
图象的对称点为k，0，对称轴为xk2kZ
ycosx的增区间为2k，2kkZ
减区间为2k，2k2kZ
图象的对称点为k2，0，对称轴为xkkZ
ytanx的增区间为k，kkZ
22
26.正弦型函数y=Asinx+的图象和性质要熟记。
或yAcosx
（1）振幅|A|，周期T2
若fx0A，则xx0为对称轴。
若fx00，则x0，0为对称点，反之也对。
3
（2）五点作图：
令x依次为0，，，3，2，求出x与y，依点（x，y）作22
图象。
（3）根据图象求解析式。
（求A、、值）
解条件组求、值
正切型函数yAtanx，T
||
27.在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。
28.在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？
29.熟练掌握三角函数图象变换了吗？
（平移变换、伸缩变换）
平移公式：
2）曲线f（x，y）
0沿向量a（h，k）平移后的方程为f（xh，yk）
ysinx的图象？
如：
函数y2sin2x1的图象经过怎样的变换才能得到
4
30.熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？
“k·2”化为的三角函数——“奇变，偶不变，符号看象限”，“奇”、“偶”
指k取奇、偶数。
97
如：
costansin2146
又如：
函数ysintan，则y的值为
coscot
A.正值或负值B.负值C.非负值D.正值
应用以上公式对三角函数式化简。
（化简要求：
项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。
具体方法：
32.正、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？
如何实现边、角转化，而解斜三角形？
应用：
已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。
a2RsinA正弦定理：
abc2Rb2RsinB
sinAsinBsinC
c2RsinC
1）求角C；
（
（1）由已知式得：
1cosAB2cos2C11
1
（2）由正弦定理及a2b21c2得：
2
33.用反三角函数表示角时要注意角的范围。
反正弦：
arcsinx，，x1，1
22
反余弦：
arccosx0，，x1，1
反正切：
arctanx，，xR
22
34.不等式的性质有哪些？
答案：
C
35.利用均值不等式：
2
a2b22aba，bR；ab2ab；abab求最值时，你是否注
2
意到“a，bR”且“等号成立”时的条件，积（ab）或和（ab）其中之一为定值？
（一正、二定、三相等）注意如下结论：
当且仅当ab时等号成立。
（∵2x22y22x2y221，∴最小值为22）
36.不等式证明的基本方法都掌握了吗？
（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）
并注意简单放缩法的应用。
37.解分式不等式f（x）aa0的一般步骤是什么？
g（x）
（移项通分，分子分母因式分解，x的系数变为1，穿轴法解得结果。
）
38.用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始
39.解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论
40.对含有两个绝对值的不等式如何去解？
（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。
）例如：
解不等式|x3|x11
1
（解集为x|x）
2
41.会用不等式|a||b||ab||a||b|证明较简单的不等问题
如：
设f（x）x2x13，实数a满足|xa|1
证明：
（按不等号方向放缩）
42.不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？
（可转化为最值问题，或“△”问题）如：
af（x）恒成立af（x）的最小值
af（x）恒成立af（x）的最大值
af（x）能成立af（x）的最小值
例如：
对于一切实数x，若x3x2a恒成立，则a的取值范围是
（设ux3x2，它表示数轴上到两定点2和3距离之和
43.等差数列的定义与性质
定义：
an1and（d为常数），ana1n1d
等差中项：
x，A，y成等差数列2Axy
a1annnn1前n项和Sn1nna1d
22
性质：
an是等差数列
2）数列a2n1，a2n，kanb仍为等差数列；
3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；
0的二
（5）an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于n的常数项为
，即：
次函数）
Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项
a0
当a10，d0，解不等式组an0可得Sn达到最大值时的n值。
an10
a0
当a10，d0，由an0可得Sn达到最小值时的n值。
an10
如：
等差数列an，Sn18，anan1an23，S31，则n
44.等比数列的定义与性质
等比中项：
x、G、y成等比数列G2xy，或Gxy
na1（q1）
性质：
an是等比数列
2）Sn，S2nSn，S3nS2n⋯⋯仍为等比数列
45.由Sn求an时应注意什么？
n1时，a1S1，n2时，anSnSn1）
46.你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？
例如：
（1）求差（商）法
练习］
n2时，anSnSn1⋯⋯3·4n1
（2）叠乘法
例如：
数列an中，a13，an1n，求an
ann1
解：
3）等差型递推公式
n2时，a2a1
a3a2
f
（2）
f（3）两边相加，得：
anan1
f（n）
练习］
4）
等比型递推公式
可转化为等比数列，设anxcan1x
练习］
数列an满足a19，3an1an4，求an
n1
4an81）
n3
5）倒数法
例如：
a11，an1a2nan2，求an
由已知得：
1an211
an12an2an
1为等差数列，11，公差为1ana12
47.你熟悉求数列前n项和的常用方法吗？
例如：
（1）裂项法：
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
练习］
求和：
1
解：
11⋯⋯1
12123⋯⋯123⋯⋯n
（2）错位相减法：
若an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn（差比数列）前n项
和，可由SnqSn求Sn，其中q为bn的公比。
3）
倒序相加法：
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
练习］
1
由f（x）f1
1
f（4）f14
x
11
∴原式f
（1）f
（2）ff（3）f
23
48.你知道储蓄、贷款问题吗？
△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：
若每期存入本金p元，每期利率为r，n期后，本利和为：
△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额
归还本息的借款种类）
若贷款（向银行借款）p元，采用分期等额还款方式，从借款日算起，一期（如一年）
后为第一次还款日，如此下去，第
n次还清。
如果每期利率为r（按复利），那么每期应还
x元，满足
p——贷款数，r——利率，n——还款期数
49.解排列、组合问题的依据是：
分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
（mi为各类办法中的方法数）分步计数原理：
Nm1·m2⋯⋯mn（mi为各步骤中的方法数）
2）排列：
从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一
mn.
列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为
3）组合：
从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n个不
规定：
C0n1（4）组合数性质：
50.解排列与组合问题的规律是：
相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果。
如：
学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩
则这四位同学考试成绩的所有可能情况是（）
A.24B.15C.12D.10
解析：
可分成两类：
（1）中间两个分数不相等，
2）中间两个分数相等
相同两数分别取90，91，92，对应的排列可以数出来，分别有3，4，3种，∴有10
种。
∴共有5＋10＝15（种）情况
51.二项式定理
Crn为二项式系数（区别于该项的系数）
性质：
（1）对称性：
CrnCnnrr0，1，2，⋯⋯，n
（3）最值：
n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第
n
n
1项，二项式系数为Cn2；n为奇数时，（n1）为偶数，中间两项的二项式
2
n1n1
系数最大即第n1项及第n11项，其二项式系数为Cn2Cn2
-26-/42
如：
在二项式x111的展开式中，系数最小的项系数为（用数字表示）
∴共有12项，中间两项系数的绝对值最大，且为第6或第7项
2
由C1r1x11r
（1）r，∴取r5即第6项系数为负值为最小：
52.你对随机事件之间的关系熟悉吗？
包含关系：
并）。
4）事件的积（交）：
A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。
5）互斥事件（互不相容事件）：
“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。
6）对立事件（互逆事件）：
A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，AAA，AA
（7）独立事件：
A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。
53.对某一事件概率的求法：
分清所求的是：
（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即
P（A）A包含的等可能结果m
P（A）一次试验的等可能结果的总数n
（2）若A、B互斥，则PABP（A）P（B）
（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB
（4）P（A）1P（A）
（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生如：
设10件产品中有4件次品，6件正品，求下列事件的概率。
（1）从中任取2件都是次品；
（2）从中任取5件恰有2件次品；
（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；
解析：
有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103而至少有2件次品为“恰有2次品”和“三件都是次品”
C23·42·64344
∴P333
3103125
（4）从中依次取5件恰有2件次品。
解析：
∵一件一件抽取（有顺序）
分清
（1）、
（2）是组合问题，（3）是可重复排列问题，（4）是无重复排列问题。
54.抽样方法主要有：
简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时，它的特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按比例抽样，主要用于总体中有明显差异，它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性。
55.对总体分布的估计——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差。
要熟悉样本频率直方图的作法：
（2）决定组距和组数；
（3）决定分点；
（4）列频率分布表；
（5）画频率直方图。
其中，频率小长方形的面积组距×频率
组距
样本平均值：
x1x1x2
n
样本方差：
S2
成此参赛队的概率为
56.你对向量的有关概念清楚吗？
（1）向量——既有大小又有方向的量。
2）向量的模——有向线段的长度，|a|
3）单位向量|a0|1，a0a
|a|
在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。
（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
b∥a（b0）存在唯一实数，使ba
（7）向量的加、减法如图：
8）平面向量基本定理（向量的分解定理）
的一组基底。
（9）向量的坐标表示
i，j是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数x，y，使得
axiyj，称（x，y）为向量a的坐标，记作：
ax，y，即为向量的坐标表示。
57.平面向量的数量积
（1）a·b|a|·|b|cos叫做向量a与b的数量积（或内积）
数量积的几何意义：
a·b等于|a|与b在a的方向上的射影|b|cos的乘积。
（2）数量积的运算法则
注意：
数量积不满足结合律（a·b）·ca·（b·c）
（3）重要性质：
设ax1，y1，bx2，y2
②a∥ba·b|a|·|b|或a·b|a|·|b|
ab（b0，惟一确定）
练习］
（1）已知正方形ABCD，边长为1，ABa，BCb，ACc，则
答案：
（2）若向量ax，1，b4，x，当x时a与b共线且方向相同
答案：
2
3）已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60o，那么|a3b|
答案：
58.线段的定比分点
设P1x1，y1，P2x2，y2，分点Px，y，设P1、P2是直线l上两点，P点在
PP2，则叫做P分有向线段
l上且不同于P1、P2，若存在一实数，使P1P
如：
ABC，Ax1，y1，Bx2，y2，Cx3，y3
则ABC重心G的坐标是x1x2x3，y1y2y333
※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？
59.立体几何中平行、垂直关系证明的思路清楚吗？
平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：
线∥线
线∥面
面∥面
判定线⊥线
线⊥面
面⊥面性质
线∥线
线⊥面
面∥面
线面平行的判定：
a∥b，b面，a
a∥面
线面平行的性质：
垂线定理（及逆定理）
PA⊥面，AO为PO在内射影，a面，则
，a⊥la⊥
0°<θ≤90°
线面垂直：
面面垂直：
a⊥面，a面⊥
面⊥面，l，a
a⊥面，b⊥面a∥b
面⊥a，面⊥a∥
60.三类角的定义及求法
（1）异面直线所成的角θ，
2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°
（三垂线定理法：
A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。
）
三类角的求法：
1找出或作出有关的角。
2证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
［练习］
（1）如图，OA为α的斜线OB为其在α内射影，OC为α内过O点任一直线。
（为线面成角，∠AOC=，∠BOC=）
（2）如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30°。
①求BD1和底面ABCD所成的角；
②求异面直线BD1和AD所成的角；
3求二面角C1—BD1—B1的大小。
（3）如图ABCD为菱形，∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD，求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。
∵AB∥DC，P为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB，则PF为面PCD与面PAB
的交线⋯⋯）
61.空间有几种距离？
如何求距离？
点与点，点与线，点与面，线与线，线与面，面与面间距离。
将空间距离转化为两点的距离，构造三角形，解三角形求线段的长（如：
三垂线定理法，或者用等积转化法）。
如：
正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，则：
（1）点C到面AB1C1的距离为；
（2）点B到面ACB1的距离为；
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