人教版A版高三数学理高考一轮复习11 集合教学设计及答案Word文件下载.docx
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≠0，a≠0，a2≠－1，只有a2＝1.
当a＝1时，＝1，不满足互异性，∴a＝－1.
答案：
－1
知识点二 集合间的基本关系
描述
关系
文字语言
符号语言
集合间的基本关系
子集
A中任意一元素均为B中的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有
AB或BA
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
A＝B
必记结论 若集合A中有n个元素，则其子集个为2n，真子集个为2n－1，非空真子集的个为2n－2.
易误提醒 易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
2．已知集合A＝{x|x＝a＋（a2－1）i}（a∈R，i是虚单位），若A⊆R，则a＝（ ）
A．1B．－1C．±
1D．0
A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±
1.
C
3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个为（ ）
A．512B．256
C．255D．254
由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；
当x＝2时，y可取1,2；
当x＝3时，y可取1；
当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.
知识点三 集合的基本运算及性质
并集
交集
补集
图形表示
符号表示
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
性质
A∪∅＝A
A∪A＝A
A∪B＝B∪A
A∪B＝A
⇔B⊆A
A∩∅＝∅
A∩A＝A
A∩B＝B∩A
A∩B＝A
⇔A⊆B
A∪（∁UA）＝U
A∩（∁UA）＝∅
∁U（∁UA）＝A
易误提醒 运用轴图示法易忽视端点是实心还是空心．
必记结论 ∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．
4．（2015·
广州一模）已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示（ ）
A．M∩NB．（∁UM）∩N
C．M∩（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）
M∩N＝{5}，A错误；
∁UM＝{1,2}，（∁UM）∩N＝{1,2}，B正确；
∁UN＝{3,4}，M∩（∁UN）＝{3,4}，C错误；
（∁UM）∩（∁UN）＝∅，D错误．故选B.
B
5．（2015·
长春二模）已知集合P＝{x|x≥0}，Q＝，则P∩（∁RQ）＝（ ）
A．（－∞，2）B．（－∞，－1]
C．（－1,0）D．[0,2]
由题意可知Q＝{x|x≤－1或x>
2}，则∁RQ＝{x|－1<
x≤2}，所以P∩（∁RQ）＝{x|0≤x≤2}．故选D.
D
考点一 集合的基本概念|
1．已知集合S＝{x|3x＋a＝0}，如果1∈S，那么a的值为（ ）
A．－3B．－1
C．1D．3
∵1∈S，∴3＋a＝0，a＝－3.
A
2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个为（ ）
A．4B．5
C．6D．7
∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.
3．（2015·
贵阳期末）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：
①若a1∈A，则a2∈A；
②若a3∉A，则a2∉A；
③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）
若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；
若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．
{a2，a3}
判断一个元素是某个集合元素的三种方法：
列举法、特征元素法、形结合法．
考点二 集合间的基本关系及应用|
（1）已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个为（ ）
A．2 B．3
C．4D．5
[解析] 依题意得，A＝{x∈N|（x＋3）（x－1）≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个为4，选C.
[答案] C
（2）已知集合M＝{x|－1<
x<
2}，N＝{x|x<
a}，若M⊆N，则实a的取值范围是（ ）
A．（2，＋∞）B．[2，＋∞）
C．（－∞，－1）D．（－∞，－1]
[解析] 依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实a的取值范围是[2，＋∞），选B.
[答案] B
1．判断两集合的关系常有两种方法
（1）简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．
（2）用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．
2．已知两集合间的关系求参时的两个关键点
（1）将两集合间的关系转为元素间的关系，进而转为参满足的关系．
（2）合利用轴、Venn图帮助分析．
1．（2015·
辽宁五校联考）设集合P＝{x|x>
1}，Q＝{x|x2－x>
0}，则下列结论正确的是（ ）
A．P⊆QB．Q⊆P
C．P＝QD．P∪Q＝R
由集合Q＝{x|x2－x>
0}，知Q＝{x|x<
0或x>
1}，所以选A.
考点三 集合的基本运算|
（1）（2015·
高考全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<
0}，则A∩B＝（ ）
A．{－1,0} B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{0,1,2}
[解析] 由于B＝{x|－2<
1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.
[答案] A
（2）（2015·
郑州期末）已知函f（x）＝，集合A为函f（x）的定义域，集合B为函f（x）的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．
[解析] 本题考查函的定义域、值域以及集合的表示．
要使函f（x）＝有意义，
则2－x－1≥0，解得x≤0，
所以A＝（－∞，0]．
又函f（x）＝的值域B＝[0，＋∞）．
阴影部分用集合表示为∁A∪B（A∩B）＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．
[答案] （－∞，0）∪（0，＋∞）
集合运算问题的四种常见类型及解题策略
（1）离散型集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．
（2）连续型集的运算．常借助轴求解．
（3）已知集合的运算结果求集合．借助轴或Venn图求解．
（4）根据集合运算求参．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用形结合求解．
2．（2015·
高考陕西卷）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（ ）
A．[0,1]B．（0,1]
C．[0,1）D．（－∞，1]
∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0<
x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.
考点四 集合的创新问题|
设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个是（ ）
A．7 B．10
C．25D．52
[解析] A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5）}，共有10个元素，故选B.
解决集合创新问题的三个策略
（1）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．
（2）按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
（3）对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．
3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<
1}，Q＝{x||x－2|<
1}，那么P－Q＝（ ）
A．{x|0<
1}B．{x|0<
x≤1}
C．{x|1≤x<
2}D．{x|2≤x<
3}
由log2x<
1，
得0<
2，
所以P＝{x|0<
2}；
由|x－2|<
得1<
3，
所以Q＝{x|1<
3}．
由题意，得P－Q＝{x|0<
x≤1}．
1.遗忘空集致误
【典例】 设全集是实集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<
0}．若（∁RA）∩B＝B，则实a的取值范围是________．
[解析] ∵A＝，∴∁RA＝，当（∁RA）∩B＝B时，B⊆∁RA即A∩B＝∅.
①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；
②当B≠∅，即a<
0时，
B＝{x|－<
}，
要使B⊆∁RA，需≤，
解得－≤a<
0.
综上可得，实a的取值范围是a≥－.
[答案] a≥－
[易误点评] 由∁RA∩B＝B知B⊆∁RA，即A∩B＝∅，又集合B中元素属性满足x2＋a<
0，当a≥0时B＝∅易忽视导致漏解．
[防范措施]
（1）根据集合间的关系求参是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．
（2）已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论．
[跟踪练习] 已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m＝________.
A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；
B＝{－1}时，m＝1；
B＝{2}时，m＝－.
0,1，－
A组 考点能力演练
1．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4<
0}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{0,1,3,4} B．{1,2,3}
C．{0,4}D．{0}
因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<
0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U（A∪B）＝{0,4}．所以选C.
2．已知集合A＝{0,1,2,3,4
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