全国通用高考数学二轮复习专题提分教程仿真模拟卷一理Word文件下载.docx
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A.B．1C．2D．2
答案 A
解析 由（1－i）＝2i，可得＝＝＝－1＋i，所以z＝－1－i，|z|＝.
3．设a＝ln，b＝20.3，c＝2，则（ ）
A．a<
c<
bB．c<
a<
b
C．a<
b<
cD．b<
c
解析 由对数函数的性质可知a＝ln<
0，由指数函数的性质可知b＝20.3>
1，又0<
c＝2<
1，故选A.
4．设θ∈R，则“<
”是“sinθ<
”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解析 由<
可得0<
θ<
，所以由“<
”可得“sinθ<
”，但由“sin<
”推不出“<
”所以“<
”的充分不必要条件．
5．在如图所示的计算1＋5＋9＋…＋2021的程序框图中，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i≤2021?
B．i<
2021?
C．i<
2017?
D．i≤2025?
解析 由题意结合流程图可知当i＝2021时，程序应执行S＝S＋i，i＝i＋4＝2025，再次进入判断框时应该跳出循环，输出S的值；
结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是i≤2021？
.
6．已知二项式n（n∈N*）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，则x3的系数为（ ）
A．14B．－14C．240D．－240
解析 二项展开式的第r＋1项的通项公式为Tr＋1＝C（2x）n－r·
r，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2∶5，可得C∶C＝2∶5.即＝，解得n＝6.所以Tr＋1＝C26－r（－1）rx，令6－r＝3，解得r＝2，所以x3的系数为C26－2（－1）2＝240.
7．在△ABC中，＋＝2，＋＝0，若＝x＋y，则（ ）
A．y＝3xB．x＝3y
C．y＝－3xD．x＝－3y
答案 D
解析 因为＋＝2，所以点D是BC的中点，又因为＋＝0，所以点E是AD的中点，所以有＝＋＝－＋＝－＋×
（＋）＝－＋，因此＝－.所以x＝，y＝－，即x＝－3y.
8．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ），A>
0，ω>
0，|φ|<
的部分图象如图所示，则使f（a＋x）－f（a－x）＝0成立的a的最小正值为（ ）
A.B.C.D.
答案 B
解析 由图象易知，A＝2，f（0）＝1，即2sinφ＝1，且|φ|<
，即φ＝，由图可知，f＝0，所以sin＝0，所以·
ω＋＝2kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又由图可知，周期T>
⇒>
，得ω<
，且ω>
0，所以k＝1，ω＝2，所以函数f（x）＝2sin，因为f（a＋x）－f（a－x）＝0，所以函数f（x）的图象关于x＝a对称，即有2a＋＝kπ＋，k∈Z，所以可得a＝＋，k∈Z，所以a的最小正值为.
9．若函数f（x）是定义在R上的奇函数，f＝1，当x<
0时，f（x）＝log2（－x）＋m，则实数m＝（ ）
A．－1B．0C．1D．2
解析 ∵f（x）是定义在R上的奇函数，f＝1，且x<
0时，f（x）＝log2（－x）＋m，∴f＝log2＋m＝－2＋m＝－1，∴m＝1.
10．在等差数列{an}中，a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，则数列{an}的前11项和等于（ ）
A．66B．132C．－66D．－132
解析 因为a3，a9是方程x2＋24x＋12＝0的两根，所以a3＋a9＝－24，又a3＋a9＝－24＝2a6，所以a6＝－12，S11＝＝＝－132.
11．已知双曲线－＝1（a>
0，b>
0）的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为a，则双曲线的离心率为（ ）
解析 由题意知等腰△ABP中，|AB|＝|AP|＝2a，设∠ABP＝∠APB＝θ，F1为双曲线的左焦点，
则∠F1AP＝2θ，其中θ必为锐角．
∵△ABP外接圆的半径为a，∴2a＝，
∴sinθ＝，cosθ＝，
∴sin2θ＝2×
×
＝，
cos2θ＝2×
2－1＝.
设点P的坐标为（x，y），
则x＝－a－|AP|cos2θ＝－，y＝|AP|sin2θ＝，
故点P的坐标为.
由点P在双曲线上，得－＝1，
整理得＝，∴e＝＝＝.
12．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet,1805～1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：
y＝f（x）＝其中R为实数集，Q为有理数集．则关于函数f（x）有如下四个命题：
①f[f（x）]＝0；
②函数f（x）是偶函数；
③任取一个不为零的有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意的x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解析 当x为有理数时，f（x）＝1；
当x为无理数时，f（x）＝0.∴当x为有理数时，f[f（x）]＝f
（1）＝1；
当x为无理数时，f[f（x）]＝f（0）＝1，∴无论x是有理数还是无理数，均有f[f（x）]＝1，故①不正确；
∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（－x）＝f（x），故②正确；
当T∈Q时，若x是有理数，则x＋T也是有理数；
若x是无理数，则x＋T也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x＋T）＝f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
取x1＝，x2＝0，x3＝－，f（x1）＝0，f（x2）＝1，f（x3）＝0，∴A，B（0,1），C，△ABC恰好为等边三角形，故④正确，故选C.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知x，y满足约束条件x，y∈R，则x2＋y2的最大值为________．
答案 8
解析 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示（含边界）．x2＋y2表示可行域内的点（x，y）到原点距离的平方．
由图形可得，可行域内的点A或点B到原点的距离最大，且A（2，－2），B（2,2），又|OA|＝|OB|＝2，∴（x2＋y2）max＝8.
14．设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°
，则此直三棱柱的高是________．
答案 2
解析 设AB＝AC＝AA1＝x，在△ABC中，∠BAC＝120°
，则由余弦定理可得BC＝x.
由正弦定理，可得△ABC外接圆的半径为r＝x，
又∵球的表面积是40π，∴球的半径为R＝.
设△ABC外接圆的圆心为O′，球心为O，在Rt△OBO′中，有2＋x2＝10，解得x＝2，即AA1＝2.∴直三棱柱的高是2.
15．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图，在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．
答案
解析 由七巧板的构造可知，△BIC≌△GOH，故黑色部分的面积与梯形EFOH的面积相等，而S梯形EFOH＝S△DOF＝×
S正方形ABDF＝S正方形ABDF，
∴所求的概率为P＝＝.
16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝Sn＋3n（n∈N*，n≥1），则数列{Sn}的通项公式为________．
答案 Sn＝3n－2n
解析 ∵an＋1＝Sn＋3n＝Sn＋1－Sn，
∴Sn＋1＝2Sn＋3n，
∴＝·
＋，∴－1＝，
又－1＝－1＝－，
∴数列是首项为－，公比为的等比数列，
∴－1＝－×
n－1＝－n，
∴Sn＝3n－2n.
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且bcosA＝sinA（acosC＋ccosA）．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解
（1）∵bcosA＝sinA（acosC＋ccosA），
∴由正弦定理可得，
sinBcosA＝sinA（sinAcosC＋sinCcosA）
＝sinAsin（A＋C）＝sinAsinB，
即sinBcosA＝sinAsinB，∵sinB≠0，∴tanA＝，
∵A∈（0，π），∴A＝.
（2）∵A＝，a＝2，△ABC的面积为，
∴bcsinA＝bc＝，∴bc＝5，
∴由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，
即12＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝（b＋c）2－15，
解得b＋c＝3，
∴△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋3＝5.
18．（本小题满分12分）如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.
（1）求证：
BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）若二面角E－BD－F的余弦值为，求线段CF的长．
解 依题意，可以建立以A为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得A（0,0,0），
B（1,0,0），C（1,2,0），D（0，1,0），
E（0,0,2）．设CF＝h（h>
0），
则F（1,2，h）．
（1）证明：
依题意，＝（1,0,0）是平面ADE的法向量，又＝（0,2，h），可得·
＝0，又因为直线BF⊄平面ADE，所以BF∥平面ADE.
（2）依题意，＝（－1,1,0），＝（－1,0,2），＝（－1，－2,2）．
设n＝（x，y，z）为平面BDE的法向量，则
即不妨令z＝1，
可得n＝（2,2,1）．
因此有cos〈，n〉＝＝－.
所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.
（3）设m＝（x′，y′，z′）为平面BDF的法向量，
则即
不妨令y＝1，可得m＝.
由题意，有|cos〈m，n〉|＝＝＝，
解得h＝.经检验，符合题意．
所以线段CF的长为.
19．（本小题满分12分）如图，已知点F（1,0）为抛物线y2＝2px（p>
0）的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2.
（1）求p的值及抛物线的准线方程；
（2）求的最小值及此时点G的坐标．
解
（1）由题意得＝1，即p＝2.
所以抛物线的准线方程为x＝－1.
（2）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG）．令yA＝2t,2t≠0，则xA＝t2.
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x＝y＋1，代入y2＝4x，得y2
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